Giải SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo trang 37, 38, 39

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng

A. (5; \( + \infty \)).         B. (3; 5).      C. (0; 5).      D. (3; \( + \infty \)).

Phương pháp:

Quan sát đồ thị. Nếu đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Quan sát Hình 1, ta thấy trên khoảng (5; + ∞), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Bài 2 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số đạt cực đại tại

A. x = 0.      B. x = 3.      C. x = 4.      D. x = 5.

Phương pháp:

Quan sát đồ thị. Đồ thị hàm số đi qua điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến thì điểm đó là cực đại của đồ thị hàm số và ngược lại

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát Hình 1, ta thấy trên khoảng (0; 3), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng đó, suy ra y' > 0 với x ∈ (0; 3); trên khoảng (3; 5) đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó, suy ra y' < 0 với x ∈ (3; 5), vậy tại điểm x = 3, đạo hàm y' đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

Bài 3 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x - 4}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 2.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, giá trị cực tiểu là y = 6.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 2.

Phương pháp:

Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số 

● Tập xác định: D = ℝ\{4}.

● Đạo hàm 

Ta có y' = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 5.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 5, giá trị cực tiểu là y = 6.

Bài 4 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Đạo hàm của hàm số y = f (x) là hàm số có đồ thị được cho trong Hình 2. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng

A. (–1; 3).    B. (–3; 1).    C. (1; 5).      D. (3; \( + \infty \)).

Phương pháp:

Quan sát đồ thị. Nếu đồ thị đi xuống thì hàm số nghịch biến

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Quan sát Hình 2, ta thấy trên khoảng (1; 5), đồ thị của hàm số f'(x) nằm phía dưới trục Ox, do đó f'(x) < 0 với mọi x ∈ (1; 5), vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (1; 5).

Bài 5 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \) trên đoạn [–2; 3] là

A. \(\sqrt 3 \)                   B. \(\sqrt {30} \)              C. \(\sqrt 2 \)                   D. 0

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x).

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).

Lời giải:

Bài 6 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^3} + 3{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}}\) là đường thẳng có phương trình

A. \(y = 2x + 3\)              B. \(y = x + 3\)                C. \(y = 2x + 1\)              D. \(y = x + 1\)

Phương pháp:

Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)

Lời giải:

Bài 7 trang 37 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{5x + 1}}\) là đường thẳng có phương trình

A. \(y =  - \frac{1}{5}\)           

B. \(y =  - \frac{2}{5}\)           

C. \(x =  - \frac{1}{5}\)            

D. \(x =  - \frac{2}{5}\)

Phương pháp:

Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn:\(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }}  + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }}  + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }}  - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }}  - \infty \)

Lời giải:

Bài 8 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm \(y = \frac{{ - 2x - 3}}{{4 - x}}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (\( - \infty \); –4) và nghịch biến trên (–4; \( + \infty \)).

B. Hàm số đồng biến trên (\( - \infty \); 4) và (4; \( + \infty \)).

C. Hàm số nghịch biến trên (\( - \infty \); 4) và (4; \( + \infty \)).

D. Hàm số nghịch biến trên (\( - \infty \); –4) và (–4; \( + \infty \)).

Phương pháp:

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số 

Tập xác định: D = ℝ\{4}.

Đạo hàm . Vì y' < 0 với mọi x ≠ 4 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; 4) và (4; + ∞).

B. TỰ LUẬN

Bài 9 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

 a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất

Phương pháp:

Tìm biểu thức liên hệ của a theo b hoặc ngược lại. Sau đó lập hàm số theo a hoặc b, lập bảng biến thiên và quan sát

Lời giải:

Ta có a + b = 10, suy ra b = 10 – a.

Vì a, b ≥ 0 nên 10 – a ≥ 0, suy ra a ≤ 10.

a) Ta có ab = a(10 – a) = – a² + 10a.

Xét hàm số H(a) = – a² + 10a với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm H'(a) = – 2a + 10. Trên khoảng (0; 10), H'(a) = 0 khi a = 5.

H(0) = 0; H(5) = 25; H(10) = 0.

Do đó, 

Với a = 5 thì b = 10 – 5 = 5.

Vậy biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất bằng 25 khi a = b = 5. 

b) Ta có a² + b² = a² + (10 – a)² = 2a² – 20a + 100.

Xét hàm số S(a) = 2a² – 20a + 100 với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm S'(a) = 4a – 20. Trên khoảng (0; 10), S'(a) = 0 khi a = 5.

S(0) = 100; S(5) = 50; S(10) = 100.

Do đó, 

Vậy tổng các bình phương của hai số a và b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 50 khi a = b = 5.

c) Ta có ab² = a(10 – a)² = a³ – 20a² + 100a.

Xét hàm số T(a) = a³ – 20a² + 100a với với a ∈ [0; 10].

Đạo hàm T'(a) = 3a² – 40a + 100. Trên khoảng (0; 10), S'(a) = 0 khi 

Bài 10 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số

Phương pháp:

Xác định các cực trị của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ

Lời giải:

Giả sử hàm số bậc ba cần tìm có dạng y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

Quan sát Hình 3, ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 5), (1; 1) và (3; 5).

Với x = 0 thì y = 5, thay vào hàm số ta suy ra d = 5.

Khi đó hàm số trở thành y = f(x) = ax³ + bx² + cx + 5.

Với x = 1 thì y = 1, thay vào hàm số ta được a + b + c + 5 = 1 (1).

Ta thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (1; 1) và (3; 5), tức là phương trình y' = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = 3.

Ta có y' = 3ax² + 2bx + c.

Với x = 1 thì y' = 0 nên ta có 3a + 2b + c = 0 (2).

Với x = 3 thì y' = 0 nên ta có 27a + 6b + c = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a = – 1; b = 6; c = – 9.

Vậy hàm số cần tìm là y = f(x) = – x³ + 6x² – 9x + 5.

Bài 11 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Phương pháp:

a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Quan sát đồ thị và tìm khoảng cách giữa 2 cực trị. Dùng định lí Pytago để tìm khoảng cách đó

Lời giải:

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = x2 – 2x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và 

● Các giới hạn tại vô cực:

3. Đồ thị:

Khi x = 0 thì y = 4 nên (0; 4) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Ta có  , phương trình này có 1 nghiệm nên đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại 1 điểm.

Điểm (0; 4) là cực đại và điểm 

Đồ thị hàm số đi qua điểm (3; 4).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm 

b) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (0; 4) và 

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

Bài 12 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Phương pháp:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) A và B đối xứng qua I thì I là trung điểm AB. Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm để tìm tọa độ của B

Lời giải:

a) Xét hàm số 

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

3. Đồ thị:

Với x = 0 thì y = – 1 nên đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; – 1).

Với y = 0 thì  nên đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm 

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 2). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 2.

b) Ta có A(0; – 1), I(1; 2).

Vì B đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AB.

Bài 13 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Phương pháp:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Lập bảng biến thiên và quan sát

Lời giải:

a) Xét hàm số 

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm . Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và y­CĐ = 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5. 

Bài 14 trang 38 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b

a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính r của đáy hình trụ theo chiều cao h của nó là: \(r = \frac{{5(12 - h)}}{{12}}\)

b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo h: \(V(h) = \frac{{25\pi h{{(12 - h)}^2}}}{{144}}\)

c) Tìm h để khối trụ có thể tích lớn nhất.

Phương pháp:

a) Từ hình vẽ, tìm mối liên hệ giữa r và h thông qua các công thức tính diện tích, thể tích,….

b) Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h\)

c) Lập bảng biến thiên và quan sát

Lời giải:

Bài 15 trang 39 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức:

\(\overline C (x) = 2x - 230 + \frac{{7200}}{x}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\overline C (x)\) trên [30; 120].

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Phương pháp:

a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (nếu có và dễ tìm), ...

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

b) Quan sát bảng biến thiên

Lời giải:

1. Tập xác định: D = [30; 120].

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Trên khoảng (30; 60), < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Trên khoảng (60; 120), > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 60 và 

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số không cắt các trục tọa độ.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (60; 10).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (30; 70), (40; 30), (80; 20), (90; 30) và (120; 70).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

b) Từ câu a), ta thấy trên đoạn [30; 120], giá trị nhỏ nhất của hàm số  bằng 10 tại x = 60.

Vậy số phần ăn là 60 thì chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Bài 16 trang 39 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Điện trở R (\(\Omega \)) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất \(\rho \)(\(\Omega \)m), chiều dài \(\ell \)(m) và tiết diện S (\({m^2}\)) được cho bởi công thức

\(R = \rho \frac{\ell }{S}\)

(Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 104)

Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở R theo tiết diện S (ở nhiệt độ \(20^\circ C\)) của một sợi dây điện dài 10m làm từ kim loại có điện trở suất \(\rho \) và thu được đồ thị hàm số như Hình 6.

Phương pháp:

a) Quan sát đồ thị

b) Giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = a cho biết tại \({x_0}\) thì \({y_0} = a\)

c) Tính \(\rho \) từ công thức của R rồi tra bảng

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 6, ta thấy:

- Trên đoạn (0; + ∞), đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải nên hàm số R(S) nghịch biến trên khoảng đó.

- Ta có  nên đường thẳng y = 0 hay trục Ox là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Ta có  nên đường thẳng x = 0 hay trục Oy là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tiết diện S càng tăng thì điện trở R càng giảm dần về 0.

b) Từ đồ thị Hình 6, ta thấy đồ thị hàm số R(S) cắt đường thẳng R = 0,001 tại điểm (0,000169; 0,01), tức là khi tiết diện S = 0,000169 m² thì điện trở R = 0,001 Ω.

c) Với S = 0,000169 thì R = 0,001 và theo bài ra ta có ℓ = 10.

Vậy dây điện được làm bằng kim loại đồng.

Sachbaitap.com