Giải SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức trang 32

Bài 1.21 trang 32 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - {x^3} + 3x + 1\);
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải:

a) y = −x³ + 3x + 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = −3x² + 3; y' = 0 ⇔ −3x² + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

+) Trên khoảng (−1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu y_CT = −1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = 3.

+) Giới hạn tại vô cực: ;

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1); (1; 3).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (0; 1).

b) y = x³ + 3x² – x – 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = 3x² + 6x – 1; y' = 0 ⇔ 3x² + 6x – 1 = 0 ⇔ hoặc .

+) Trên khoảng , y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên các khoảng và , y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại .

+) Giới hạn tại vô cực:

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao Oy tại (0; −1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 5); (1; 2).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (−1; 2).

Bài 1.22 trang 32 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1) và giao với trục hoành tại điểm 

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm (−1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này là trục đối xứng.

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 3), giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−3; 0).

+) Đồ thị của hàm số nhận giao điểm I(1; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Bài 1.23 trang 32 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2{x^2} - x + 4}}{{x - 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 3}}\).

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải:

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −4).

+) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

+) Trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng (−5; −3) và (−3; −1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại x = −5 với y_CĐ = −8; hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 với y_CT = 0.

Do đó x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là 

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−1; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−3; −4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Bài 1.24 trang 32 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Một cốc chứa 30ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác chứa nồng độ 8mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi hàm C(x) là hàm số xác định với \(x \ge 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8mg/ml.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải:

a) Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: 30.100 + 8.x = 3000 + 8x (mg).

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: 30 + x (ml).

1. Tập xác định của hàm số là D = [0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Hàm số luôn nghịch biến trên [0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

Do đó y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 100).

+) Hàm số đi qua điểm 

c) Vì nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Bài 1.25 trang 32 SGK Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở \({R_1}\) và \({R_2}\) thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức \(R = \frac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở \(8\Omega \) được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là \(x\left( \Omega  \right)\) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = R\left( x \right),x > 0\) và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá \(8\Omega \).

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải:

+) Hàm số luôn đồng biến trên (0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với Ox, Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số đi qua 

a) Vì  nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

b) Vì  nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 W.

Sachbaitap.com