Giải Toán 7 trang 119, 120 Cánh Diều tập 2

Bài 1 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có: \(\widehat A = 42^\circ ,\widehat B = 37^\circ \).

a) Tính \(\widehat C\).

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.

Phương pháp:

a) Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180°.

b) Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì có số đo độ dài lớn hơn.

Lời giải:

Bài 2 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Tìm các số đo x, y trong Hình 140.

Phương pháp:

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

Trong tam giác đều, ba góc có số đo bằng nhau và bằng 60°.

Lời giải:

Tam giác ABO có OA = AB = BO nên tam giác ABO đều.

Do đó x = 60°.

Tam giác OAC có OA = OC nên tam giác OAC cân tại O.

Bài 3 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?

Phương pháp:

Trong một tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC.

Khi đó trong tam giác ABC: AB < AC + CB.

Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.

Bài 4 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh AI = MK.

Phương pháp:

Chứng minh AI = MK bằng cách chứng hai tam giác ABI và MNK bằng nhau.

Lời giải:

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

AB = MN (theo giả thiết).

BC = NP (theo giả thiết).

CA = PM (theo giả thiết).

Do đó ∆ABC = ∆MNP (c - c - c).

CI = PK (chứng minh trên).

Do đó ∆ACI = ∆MPK (c - g - c).

Suy ra AI = MK (2 cạnh tương ứng).

Bài 5 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

Phương pháp:

Chứng minh dựa vào chứng minh hai tam giác AOM và BON bằng nhau.

Lời giải:

a) Xét ∆AOM và ∆BON có:

AO = BO (theo giả thiết).

Bài 6 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {ABC} = 70^\circ \). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

b) Chứng minh BD = CE.

c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

Phương pháp:

a) Tam giác ABC cân tại A nên số đo góc B bằng số đo góc C và tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

b) Chứng minh hai tam giác vuông ADB và AEC bằng nhau.

c) Chứng minh \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\).

Lời giải:

b) Xét ∆ADB vuông tại D và ∆AEC vuông tại E có:

AB = AC (chứng minh trên).

     \(\widehat A\) chung.

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra BD = CE (2 cạnh tương ứng).

c) Do ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền - góc nhọn) nên AD = AE (2 cạnh tương ứng).

Xét ∆AEH vuông tại E và ∆ADH vuông tại D có:

AE = AD (chứng minh trên).

AH chung.

Do đó ∆AEH = ∆ADH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Bài 7 trang 119 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.

Phương pháp:

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải:

Tam giác ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra AI ⊥ BC.

Tam giác ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác ECD.

Suy ra EK ⊥ CD.

Do B, C, D thẳng hàng nên AI ⊥ BC suy ra AI ⊥ BD.

EK ⊥ CD nên EK ⊥ BD.

Do đó AI // EK.

Bài 8 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144). Chứng minh:

a) \(\Delta OMA = \Delta OMB\) và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác MNP.

Phương pháp:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

b) Chứng minh dựa vào kết quả của phần a).

Lời giải:

a) Do O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OMA vuông tại A và ∆OMB vuông tại B có:

OM chung.

OA = OB (chứng minh trên).

Do đó ∆OMA = ∆OMB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

b) Thực hiện nối PO.

Xét ∆OPA vuông tại A và ∆OPC vuông tại C có:

OP chung.

OA = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆OPA = ∆OPC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Bài 9 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A. 

Phương pháp:

a) Trong tam giác cân: đường trung tuyến tại đỉnh cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc tại đỉnh đó.

b) Chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh AB = AC hoặc góc B bằng góc C.

Lời giải:

a) 

Gọi K là trung điểm của BC.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng (1).

Do K là trung điểm của BC nên BK = CK.

H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Ta có AK ⊥ BC và AH ⊥ BC nên A, H, K thẳng hàng (2).

O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OKB và ∆OKC có:

OK chung.

OB = OC (chứng minh trên).

BK = CK (chứng minh trên).

Do đó ∆OKB = ∆OKC (c - c - c).

Do đó IB = IC.

Xét ∆IBK và ∆ICK có:

IB = IC (chứng minh trên).

Do đó IK ⊥ BC.

Lại có AK ⊥ BC nên A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

b)

H là trực tâm của tam giác ABC nên A, H, K thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng nên A, H, I, K thẳng hàng.

Do đó ∆AKB = ∆AKC (góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Bài 10 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình?

Phương pháp:

Vẽ giao điểm của hai đường cao từ đỉnh B, C rồi lấy giao điểm và từ giao điểm đó vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại D.

Lời giải:

Theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ B và C của tam giác ABC.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, đường vuông góc này cắt BC tại một điểm.

Điểm đó chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

Bài 11 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Khi đó

A.\(AM = 2GM\).                  B.\(AM = 2AG\).              C.\(GA = 3GM\).              D.\(GA = 2GM\).

Phương pháp:

Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm của tam giác bằng \(\dfrac{2}{3}\) khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.

Lời giải:

Đáp án: D. \(GA = 2GM\).

Bài 12 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {BAC} = 40^\circ \). Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Khi đó

A.\(OA = OB = AB\).            B.\(OA = OB = OC\).       C.\(OB = OC = BC\).       D.\(OC = OA = AC\).

Phương pháp:

Trong một tam giác: giao điểm của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Lời giải:

Đáp án: B. \(OA = OB = OC\).

Bài 13 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có BC > AC, I là giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B. Khi đó

A.\(\widehat {ICA} = \widehat {ICB}\).                        B.\(\widehat {IAC} = \widehat {IBC}\). C.\(\widehat {ICA} > \widehat {ICB}\).   D.\(\widehat {ICA} < \widehat {IBC}\).

Phương pháp:

Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.

Lời giải:

Ta có: I là giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B nên suy ra: CI là đường phân giác của góc C.

Vậy \(\widehat {ICA} = \widehat {ICB}\) ( tính chất tia phân giác của một góc).

Đáp án: A. \(\widehat {ICA} = \widehat {ICB}\).

Bài 14 trang 120 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh Diều

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Hai đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Khi đó

A.\(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\).                     B.\(\widehat {HAB} > \widehat {HAC}\).     C.\(\widehat {HAB} = \widehat {HCB}\).                D.\(\widehat {HAC} = \widehat {BAC}\).

Phương pháp:

Trpng một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.

Lời giải:

Ta có: AB < AC nên \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\) (góc ACB đối diện với cạnh AB; góc ABC đối diện với cạnh AC)

Mà tam giác ADB và tam giác ADC đều vuông tại D.

Vì tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90°.

Mà \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\).

Suy ra: \(90^\circ  - \widehat {ACB} > 90 - \widehat {ABC}\) hay \(\widehat {DAC} > \widehat {DAB}\).

Vậy \(\widehat {HAC} > \widehat {HAB}\)hay \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\).

Sachbaitap.com