Tải ngay
Giải Toán 7 trang 84 Chân trời sáng tạo tập 2Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 84 SGK Toán lớp 7 chân trời sáng tạo tập 2. Bài 9.Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM. Bài 1 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat A < {90^o}\)). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rẳng \(\Delta BFC = \Delta CEB\) b) Chứng minh rằng \(\Delta AEH = \Delta AFH\) c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng. Phương pháp: a) Ta sử dụng định lí cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông b) Từ câu a ta chứng minh 2 tam giác AHF = tam giác AHE nhờ những cạnh của 2 tam giác chứng minh được bằng nhau từ câu trên c) Ta chứng minh AI và AH cùng là phân giác của góc A Lời giải:
a) Tam giác ABC cân tại A nên Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCFB vuông tại F có:
BC chung. Do đó ΔBEC=ΔCFB (cạnh huyền - góc nhọn). b) Do ΔBEC=ΔCFB (cạnh huyền - góc nhọn) nên EC = FB (2 cạnh tương ứng). Mà AB = AC nên AB - FB = AC - EC hay AF = AE. Xét ΔAHF vuông tại F và ΔAHE vuông tại E có: AF = AE (chứng minh trên). AH chung. Do đó ΔAHF=ΔAHE (cạnh huyền - cạnh góc vuông). c) DABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của △">△△ABC. Suy ra AH ⊥ BC (1). Xét △AIB và △AIC có: AB = AC (chứng minh trên). IB = IC (do I là trung điểm của BC). AI chung. Suy ra △AIB = △AIC (c.c.c).
Do đó AI ⊥">⊥ BC (2). Từ (1) và (2) suy ra A, H, I thẳng hàng. Bài 2 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM. a) Chứng minh rằng tam giác ABM cân. b) Chứng minh rằng \(\Delta ABC = \Delta MBC\) Phương pháp: a) Ta chứng minh BM = BA thông qua việc chứng minh 2 tam giác BHA và BHM bằng nhau b) Ta chứng minh góc ABH = góc MBH sau đó chứng minh 2 tam giác đề bài yêu cầu bằng nhau theo trường hợp c-g-c Lời giải:
a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔMHB vuông tại H có: AH = MH (theo giả thiết). BH chung. Do đó ΔAHB=ΔMHB (2 cạnh góc vuông). Suy ra AB = MB (2 cạnh tương ứng). Tam giác ABM có AB = MB nên tam giác ABM cân tại B. b) Do ΔAHB=ΔMHB (2 cạnh góc vuông) nên Xét ΔABC và ΔMBC có: AB = MB (chứng minh trên).
BC chung. Do đó ΔABC = ΔMBC (c - g - c). Bài 3 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = HC. a) Chứng minh rằng AD = AC. b) Chứng minh rằng \(\widehat {ADH} = \widehat {BAH}\) Phương pháp: a) Ta chứng minh tam giác ACD cân tại A sau đó suy ra AC = AD b) Ta chứng minh \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^o} = \widehat {HAC} + \widehat {HCA}\) và \(\widehat D = \widehat C\) Lời giải:
a) Trên tia đối của HC lấy D sao cho HC = HD nên H là trung điểm của CD. AH ⊥ CD tại trung điểm H của CD nên AH là đường trung trực của CD. Do đó AC = AD. b) Tam giác ACD có AC = AD nên tam giác ACD cân tại A.
Bài 4 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \(BE \bot AN\)(E ∈ AN). a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN. b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA. c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân. Phương pháp: a) Ta chứng minh \(\widehat {ABE} = \widehat {NBE}\) bằng cách chứng minh 2 tam giác BAF và BNF bằng nhau . b) Ta chứng minh NK song song với CA do có 2 góc so le trong bằng nhau c) Ta chứng minh góc BGC bằng góc BCG Lời giải:
a) Xét△BEA vuông tại E và △BEN vuông tại E có: BA = BN (theo giả thiết). BE chung. Suy ra △BEA = △BEN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN. Do đó NK ⊥ AB. Mà AC ⊥ AB nên NK // AC.
Do đó ΔAFG=ΔNFC (góc nhọn - cạnh góc vuông). Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng). Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC. Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B. Bài 5 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\) b) Kẻ \(MI \bot AH\)(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK. Phương pháp: a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\) Nên \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {MBC} = {90^o} - \widehat {MBC}\) b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do \(\Delta MAI = \Delta MKI\)(g-c-g) Lời giải:
a) Do M nằm trên đường trung trực của BC nên MB = MC. Xét ΔBMN vuông tại N và ΔCMN vuông tại N có: MB = MC (chứng minh trên). MN chung. Do đó ΔBMN=ΔCMN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
MI chung. Do đó ΔAMI=ΔKMI(góc nhọn - cạnh góc vuông). Suy ra AI = KI (2 cạnh tương ứng). Mà I nằm giữa A và K nên I là trung điểm của AK. Bài 6 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD. a) Chứng minh rằng \(\Delta \)MFN = \(\Delta \)PFD b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của GK. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng. Phương pháp: a) Chứng minh \(\Delta \)MFN = \(\Delta \)PFD theo trường họp cạnh góc cạnh Sử dụng tính chất của điểm đối xứng qua một điểm, trung điểm của 1 đoạn thẳng và 2 góc đối đỉnh b) Chứng minh H là trọng tâm của tam giác MPD sau đó dựa vào tính chất ta suy ra M, H, K thẳng hàng Lời giải:
a) Tam giác MNP có đường trung tuyến NF nên F là trung điểm của MP. Do đó FM = FP. Xét ΔMFN">ΔMFN và ΔPFD">ΔPFD Dcó: MF = PF (chứng minh trên).
FN = FD (theo giả thiết). Do đó ΔMFN=ΔPFD">ΔMFN=ΔPFD (c.g.c). b) Tam giác MNP có G là giao điểm hai đường trung tuyến ME và NF nên G là trọng tâm của tam giác MNP. Do đó NG = 2/3 NF. Suy ra GF = 1/3 NF. Do F là trung điểm của GH nên GF = HF. Suy ra HF = 1/3 NF. Mà NF = DF nên HF = 1/3 DF. Suy ra DH = 2/3 DF. Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH = 2/3 DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP. Lại có MK là đường trung tuyến của tam giác MDP nên M, H, K thẳng hàng. Bài 7 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\dfrac{1}{2}\)AC, AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)(D ∈ BC). Gọi E là trung điểm của AC. a) Chứng minh rằng DE = DB b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK. c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH\( \bot \)KC. Phương pháp: a) Chứng minh BD = DE thông qua việc chứng minh 2 tam giác BAD và EAD bằng nhau b) Chứng minh \(\Delta \)CDK cân tại D do có 2 cạnh bên DK = DC c) Chứng minh \(\Delta \)KAC vuông cân tại A và AD là phân giác nên cũng là đường cao của \(\Delta \)KAC \( \Rightarrow \)AH\( \bot \)KC Lời giải:
a) Do E là trung điểm của AC nên AE = 1/2 AC. Mà AB = 1/2 AC nên AE = AB.
AD chung. Do đó ΔBAD = ΔEAD (c.g.c). Suy ra DB = DE (2 cạnh tương ứng).
Do đó ΔADK = ΔADC g.c.g). Suy ra DK = DC (2 cạnh tương ứng) và AK = AC (2 cạnh tương ứng). Tam giác DCK có DK = DC nên tam giác DCK cân tại D. Do AK = AC, mà AC = 2AB nên AK = 2AB. Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.
AH chung. Suy ra △KAH = △CAH (c.g.c). Bài 8 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Ở Hình 1, cho biết AE = AF và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\). Chứng minh AH là đường trung trực của BC. Phương pháp: Ta chứng minh A và H cùng thuộc đường trung trực của đoạn BC thông qua chứng minh chúng cách đều 2 đầu mút của đoạn BC. Lời giải:
Do đó AB = AC. Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC (1). Mà AE = AF nên AB - AE = AC - AF hay BE = CF. Xét ΔEBC và ΔFCB có: BE = CF (chứng minh trên).
BC chung. Do đó ΔEBC = ΔFCB (c.g.c).
Do đó HB = HC. Suy ra H nằm trên đường trung trực của BC (2). Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của BC. Bài 9 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM. a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân. b) Chứng minh rằng \(\widehat {EBH} = \widehat {ACM}\) c) Chứng minh rằng \(EB \bot BC\) Phương pháp: a)Ta chứng minh \(\Delta \)BME có 2 cạnh bên hoặc 2 góc đáy bằng nhau thông qua việc chứng minh 2 tam giác EHB và MHB bằng nhau. b)Ta chứng minh \(\widehat {EBH} = \widehat {ACM}\)do cùng = \(\widehat {MBH}\) c)Ta chứng minh\(\widehat {EBH} + \widehat {BCE} = {90^o}\) Lời giải:
a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM nên H là trung điểm của ME. Ta thấy BH vuông góc với ME tại trung điểm H của ME nên BH là đường trung trực của ME. Do đó BM = BE. Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.
Do đó EB ⊥">⊥ BC. Bài 10 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo Trên đường thẳng a lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI. Phương pháp: Ta chứng minh N là trực tâm của tam giác MIK Lời giải:
Xét tam giác MIK có MJ ⊥ IK, IN ⊥ MK. Mà MJ cắt IN tại N nên N là trực tâm của tam giác MIK. Do đó NK vuông góc với MI. Sachbaitap.com
Xem thêm tại đây:
Bài tập cuối chương 8 - CTST
|
và AB = AC.
