Bài 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 trang 103 104, 105 SGK Toán 8 tập 2 - Thể tích của hình hộp chữ nhật

Bài 10 trang 103 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

1. Gấp hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật hay không?

2. Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình 87b 

a) Đường thẳng \(BF\) vuông góc với những mặt phẳng nào?

b) Hai mặt phẳng \((AEHD)\) và \((CGHD)\) vuông góc với nhau, vì sao?

Phương pháp:

Dựa vào lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

+ Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó.

+ Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng còn lại. 

Lời giải:

1. Gấp hình 33.a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật.

2. a) Trong hình hộp ABCD.EFGH thì:

+) BF vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau EF và FG của mặt phẳng (EFGH) nên BF vuông góc với mặt phẳng (EFGH).

+) BF vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB và BC của mặt phẳng (ABCD) nên BF vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD)vuông góc với nhau vì mặt phẳng (AEHD) chứa đường thẳng EH vuông góc với mặt phẳng (CGHD).

Bài 11 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

a) Tính các kích thước của một hình hộp chữ nhật, biết rằng chúng tỉ lệ với 3, 4, 5 và thể tích của hình hộp này là 480cm3.

b) Diện tích toàn phần của một hình lập phương là 486m2. Thể tích của nó là bao nhiêu?

Lời giải:

a. Gọi \(a,\, b,\, c\) là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Vì \(a,\, b,\, c\) tỉ lệ với \(3,\, 4,\, 5\) nên

\(\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}= t \;  ( t > 0)   \) 

\(\Rightarrow  a = 3t;\; b = 4t;\; c = 5t  \quad (1) \)

Mà thể tích hình hộp là \( 480cm^3\) nên \(a.b.c = 480 \quad  (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra 

\( 3t.4t.5t = 480 \Rightarrow 60t^3 = 480\)

\(  \Rightarrow t^3 = 8 \Rightarrow t = 2 \) 

Do đó:

\(a =3t=3.2= 6(cm);\\ b=4t=4.2 = 8(cm); \\ c=5t=5.2 = 10 (cm) \)

Vậy các kích thước của hình hộp là \(6cm;\; 8cm; \; 10cm\) .

b. Hình lập phương là hình có \( 6\) mặt là các hình vuông bằng nhau.

Diện tích một mặt là:

       \(486 : 6 = 81 (m^2) \)

Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình lập phương, ta có:

\(a^2=81\)

Suy ra độ dài cạnh hình lập phương là  \( a = \sqrt{81}=9\, (m) \).

Thể tích hình lập phương là :    \( V = a^3 = 9^3 = 729 (m^3)  \).

Bài 12 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

A, B, C và D là những đỉnh của hình hộp chữ nhật cho ở hình 88. Hãy điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

Phương pháp:

- Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để chứng minh công thức: 

    \(DA = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}}\)

- Áp dụng công thức bên trên để tìm độ dài các đoạn thẳng chưa biết.

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh hệ thức: DA² = AB² + BC² + CD².

+ ΔBCD vuông tại C suy ra: BD² = BC² + CD² .

+ ΔABD vuông tại B ⇒ AD² = AB² + BD²

Mà BD² = BC² + CD² ⇒ AD² = AB² + BC² + CD² .

Vậy AD² = AB² + BC² + CD² .

Áp dụng hệ thức trên để tính các cạnh còn thiếu trong bảng ta có:

+ Cột 1: AB = 6; BC = 15; CD = 42

⇒AD² = AB² + BC² + CD² = 6² + 15² + 42² = 2025

⇒AD = 45.

+ Cột 2: AB = 13; BC = 16; AD = 45

⇒CD² = AD² - AB² - BC² = 45² - 13² - 16² = 1600

⇒CD = 40.

+ Cột 3: AB = 14; CD = 70; DA = 75

⇒BC² = DA² - CD² - AB² = 75² - 70² - 14² = 529

⇒BC = 23

+ Cột 4: BC = 34; CD = 62; DA = 75

⇒AB² = DA² - BC² - CD² = 75² - 34² - 62² = 625

⇒AB = 25.

Do đó ta có kết quả như bảng dưới đây:

Bài 13 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

a) Viết công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (h.89).

b) Điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng sau:

Lời giải:

a. \({V_{ABCD.MNPQ}} = MN.{\rm{ }}NP.{\rm{ }}NB\)

b. + Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 1: 

    Diện tích một đáy là: \(22 . 14 = 308\)  

    Thể tích là: \(22. 14 . 5 = 1540\)

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 2:

    Chiều rộng là: \(90 : 18 = 5\)

    Thể tích là: \(18 . 5 . 6 = 90 . 6 = 540\)

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 3:

    Chiều rộng là: \(1320 : (15 . 8) = 11\)

    Diện tích một đáy là: \(15 . 11 = 165\)

+ Hình hộp chữ nhật với các kích thước ở cột 4:

    Chiều rộng là: \(260 : 20 = 13\)

    Chiều cao là: \(2080 : 260 = 8\)

Ta có kết quả chung như bảng sau: 

Bài 14 trang 104 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m. Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể 120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m.

a) Tính chiều rộng của bể nước.

b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể.

Hỏi bể cao bao nhiêu mét?

Phương pháp:

Giả sử \( a\) là chiều dài, \( b\) là chiều rộng và \(  c\) là chiều cao. 

Ta áp dụng các công thức sau :

 \(V = a.b.c\);              \(b= V :( a.c)\);                  \(c= V :S_{\mbox{1 đáy}} = V : (a.b)\);

Lời giải:

a) Thể tích nước đổ vào:

120 x 20 = 2400 (l) = 2,4 (m³)

Chiều rộng của bể nước:

2,4 : (2 x 0,8) = 1,5(m)

b) Thể tích của bể nước:

2400 + 60 x 20 = 3600 (l) = 3,6 (m³)

Chiều cao của bể nước:

3,6 : (2 x 1,5) = 1,2 (m)

Bài 15 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Một cái thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu của nước là 4dm. Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm và chiều cao 0,5dm vào thùng. Hỏi nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng bao nhiêu đêximet? (giả thiết toàn bộ gạch ngập trong nước và chúng hút nước không đáng kể). 

Lời giải:

Thể tích của nước trong thùng là:

          \( 7 . 7 . 4 = 196 (dm^3) \)

Thể tích của \(25\) viên gạch:

          \(25 . (2 . 1 . 0,5) = 25 (dm^3) \)

Thể tích của nước và gạch:

         \( 196 + 25 = 221(dm^3) \)

Chiều cao mực nước trong thùng sau khi thả \(25\) viên gạch vào là:

         \( 221 : (7.7) ≈ 4,51 (dm) \) 

Nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng số đề-xi-mét là :

         \(7 - 4,51 = 2,49 (dm) \)

Bài 16 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Thùng chứa của một xe chở hàng đông lạnh có dạng như hình 90. Một số mặt là những hình chữ nhật, chẳng hạn (ABKI), (DCC'D'), ... . Quan sát hình và trả lời các câu hỏi sau:

a) Những đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABKI)?

b) Những đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (DCC'D')?

c) Mặt phẳng (A'D'C'B') có vuông góc với mặt phẳng (DCC'D') hay không?

Phương pháp:

a. Áp dụng lý thuyết về đường thẳng song song với mặt phẳng

+ Một đường thẳng d song song với một mặt phẳng P nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong P.

b. Áp dụng lý thuyết về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng.

c. Áp dụng lý thuyết về hai mặt phẳng vuông góc. 

Lời giải:

a) Những đường thẳng song song với mặt phẳng (ABKI) là A’B’; D’C’; DC; GH.

b) Những đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (DCC'D') là A'D'; B'C'; DG; CH; AI; BK.

c) Ta có: A'D' ⊥ (CDD'C') mà A’D’ nằm trong mặt phẳng (A’D’C’B’) nên (A'B'C'D') ⊥ (CDD'C')

Bài 17 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (h.91).

a) Kể tên các đường thẳng song song với mp (EFGH).

b) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?

c) Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào?

Phương pháp:

Áp dụng lý thuyết về đường thẳng song song với mặt phẳng.

Lời giải:

a) Những đường thẳng song song với mặt phẳng (EFGH) là: AB; BC; CD; DA.

b) Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng: (CDHG); (EFGH); (DCFE)

c) Đường thẳng AD song song với những đường thẳng: BC, FG, EH

Bài 18 trang 105 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Đố: Các kích thước của một hình hộp chữ nhật là 4cm, 3cm và 2cm. Một con kiến bò theo mặt của hình hộp đó từ Q dến P (h.92).

a) Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất?

b) Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu xentimet?

Phương pháp:

 Áp dụng: Định lí Pytago, so sánh hai số vô tỉ.

Lời giải:

a.Vì con kiến bò theo mặt của hình hộp từ \(Q\) đến \(P\) tức phải bò trên “ một mặt phẳng” ta vẽ hình khai triển của hình hộp chữ nhật và trải phẳng như sau:

Khi đó, \(P\) sẽ có hai vị trí là \(P’\) và \(P’’\) và quãng đường ngắn nhất sẽ là một trong hai đoạn thẳng \(QP’ \) và \(QP’’\) Ta có:

Hình chữ nhật với chiều dài \(2+3=5cm\) và chiều rộng \( 4cm\) có đường chéo \(QP’\) với độ dài: 

                   \(QP’ = \sqrt{4^{2}+ 5^{2}} =\sqrt{41}cm \) 

Hình chữ nhật với chiều dài \(4+2=6cm\) và chiều rộng \( 3cm\) có đường chéo \(QP’'\) với độ dài: 

                  \(QP’’ = \sqrt{6^{2}+ 3^{2}}=\sqrt{45}cm \) 

Ta có : \( \sqrt{41} < \sqrt{45} \) . Vậy đường đi ngắn nhất là  \(QP’\)

b.Vậy độ dài ngắn nhất là \( \sqrt{41} \approx 6,4 cm\) 

Sachbaitap.com