Bài 11 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai tia Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung, AB = a. Lấy các điểm C và D lần lượt thuộc Ax, By.

1) Xác định tâm và bán kính mạt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC, c = BD.

2) Khi C, D thay đổi trên Ax, By sao cho AC + BD = CD, chứng tỏ rằng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB.

Giải

1) Vì \(AC \bot AB,AC \bot BD\) nên \(AC \bot AD.\)

Tương tự như trên, ta có \(CB \bot BD\)

Vậy CD là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Dễ thấy \(C{D^2} = C{A^2} + A{B^2} + B{D^2}\)

                        \(={a^2} + {b^2} + {c^2}\)

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là trung điểm của CD và bán kính mặt cầu bằng \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)

2) Gọi C₁ là điểm thuộc tia đối của tia Ax sao cho AC₁ = BD.

Gọi O là trung điểm của AB thì

\(\eqalign{  & OC_1^2 = AC_1^2 + {{A{B^2}} \over 4},  \cr  & O{D^2} = BD^2 + {{A{B^2}} \over 4}, \cr} \)

Do đó OC₁ = OD.

Mặt khác CD = AC + BD, từ đó CD = CC₁.

Vậy hai tam giác OC₁C và ODC bằng nhau, suy ra OA = OH (trong đó OA, OH lần lượt là đường cao của hai tam giác đó).

Điều này khẳng định khoảng cách từ O đến CD bằng \({{AB} \over 2}\), tức là mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với CD.

Sachbaitap.com