Bài 15 trang 56 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước, tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất sau:

1) Thể tích hình hộp đạt giá trị lớn nhất ;

2) Tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.

Giải

Trước hết, ta nhận xét rằng hình hộp nội tiếp mặt cầu phải là hình hộp chữ nhật. Từ đó, nếu kí hiệu ba kích thước của hình hộp đó là x, y, z thì \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{R^2}\)

1) Thể tích khối hộp chữ nhật là V = xyz, từ đó  \({V^2} = {x^2}{y^2}{z^2}.\) Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({x^2} = {y^2} = {z^2} = {{4{R^2}} \over 3}\) hay \(x = y = z = {{2R} \over {\sqrt 3 }},\) tức hình hộp đó là hình lập phương với cạnh bằng \({{2R} \over {\sqrt 3 }}\)

2) Tổng độ dài các cạnh của hình hộp là T=4(x+y+z), từ đó

\({T^2} = 16{(x + y + z)^2} \le 16.3({x^2} + {y^2} + {z^2}) = 192{R^2}\)

Như vậy, tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(x = y = z = {{2R} \over {\sqrt 3 }}\) hay hình hộp đó là hình lập phương có cạnh bằng \({{2R} \over {\sqrt 3 }}\)

Sachbaitap.com