Bài 1.10 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng  có giới hạn hữu hạn khi  Tìm giới hạn đó.

Giải :

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có, \({u_1} = 2,\,\,{u_2} = {3 \over 2},\,\,{u_3} = {5 \over 4},\,\,{u_4} = {9 \over 8},\,\,{u_5} = {{17} \over {16}}\)

Dự đoán, \({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) với \(n \in N*\)

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).

Từ đó, 

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr
& = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}}} \right] \cr
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)