Bài 1.19 trang 23 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OD} \)

b) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {FN} \)

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.44)

a) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} \)

\(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OD} \)

Vì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên ta có \(\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OD} \)

Vậy \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} \)

b) Tứ giác AMOE là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MO} (1)\)

Tứ giác OFCN là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {FN}  = \overrightarrow {FO}  + \overrightarrow {FC} (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {FO}  + \overrightarrow {FC}\)

\( = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {FO} ) + (\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {FC} ) = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD} \)

(Vì \(\overrightarrow {FO}  = \overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {BF} \))

Vậy \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {FN} \)

Sachbaitap.net