Bài 13 trang 225 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D( 1 ; 1 ; 1).

1. Chứng minh A, B,C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.

2. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

3. Viết phương trình đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D.

4. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại đỉnh A.

6. Xác định toạ độ của điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(BCD).

7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Giải

1. \(\overrightarrow {CA} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {CB} {\rm{ }} = \left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }}; - 1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {CD} {\rm{ }} = \left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)

\( =  > \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = ( - 1;2;1)\)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right].\overrightarrow {CD = } 1 \ne 0\)

=> A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.

2. \({V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right].\overrightarrow {CD} } \right| = {1 \over 6}.\)

3. Vectơ chỉ phương của đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D có thế lấy là vectơ pháp tuyến của mp(ABC) hay vectơ \(\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

Vậy đường cao đó có phương trình chính tắc là \({{x - 1} \over { - 1}} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 1}.\)

4. Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng

         \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2ax{\rm{ }} - {\rm{ }}2by{\rm{ }} - {\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình

          \(\left\{ {\matrix{   {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}4c - d - 5{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr   {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b - d - 2{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr   {2c - d - {\rm{ 1}} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr   {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c - d - 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.} \hfill  \cr  } } \right.\)

Giải hệ ta có : \(a = {3 \over 2},b =  - {1 \over 2},c = {1 \over 2},d = 0.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là

\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y - z{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Suy ra (S) có tâm là \(I\left( {{3 \over 2}; - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) và bán kính \(R{\rm{ }} = {{\sqrt {11} } \over 2}.\)

5. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A có vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow {AI}  = \left( {{1 \over 2}; - {1 \over 2}; - {3 \over 2}} \right) = {1 \over 2}\left( {1; - 1; - 3} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

\(\matrix{   {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}0} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0} \hfill  \cr   { <  =  > x - y - 3z{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.} \hfill  \cr  } \)

6. Ta viết phương trình mp(BCD), đó là mặt phẳng đi qua \(C\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right)\) và các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n {\rm{  = }}\left[ {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }}; - {\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right).\)

Vậy mp(BCD) có phương trình : \(x - y{\rm{ }} = 0.\)

Đường thẳng qua A và vuông góc với mp(BCD) có phương trình là

            \(\left\{ \matrix{  x = 1 + t \hfill \cr  y =  - t \hfill \cr  z = 2. \hfill \cr}  \right.\)

Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với mp(BCD), toạ độ của K là nghiệm của hệ

           \(\left\{ \matrix{  x = 1 + t \hfill \cr  y =  - t \hfill \cr  z = 2 \hfill \cr  x - y = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow K = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};2} \right).\)

Vì A ' là điểm đối xứng với A qua mp(BCD) nên ta có

            \(\left\{ \matrix{  {x_{A'}} + {x_A} = 2{x_K} \hfill \cr  {y_{A'}} + {y_A} = 2{y_K} \hfill \cr  {z_{A'}} + {z_A} = 2{z_K} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A' = \left( {0;1;2} \right).\)

7. Dễ dàng nhận thấy BD song song với mp(xOz) mà mp(xOz) chứa AC nên \(d\left( {AC,BD} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}d\left( {B,\left( {xOz} \right)} \right){\rm{ }} = 1.\)

Sachbaitap.com