Bài 1.4 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;5} \right)\).

Giải:

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(r = 3\).Gọi \(I' = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) = \left( {1 - 2; - 2 + 5} \right) = \left( { - 1;3} \right)\) và (C') là ảnh của (C) qua \({T_{\overrightarrow v }}\) thì (C') là đường tròn tâm (I') bán kính \(r = 3\). Do đó (C') có phương trình:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\)

Cách 2.  Biểu thức tọa độ của \({T_{\overrightarrow v }}\) là

\(\left\{ \matrix{
x' = x - 2 \hfill \cr
y' = y + 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = x' + 2 \hfill \cr
y = y' - 5 \hfill \cr} \right.\)

Thay vào phương trình của (C) ta được

\(\eqalign{
& {\left( {x' + 2} \right)^2} + {\left( {y' - 5} \right)^2} - 2\left( {x' + 2} \right) + 4\left( {y' - 5} \right) - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} + 2x' - 6y' + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x' + 1} \right)^2} + {\left( {y' - 3} \right)^2} = 9 \cr} \)

Do đó (C') có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\)