Bài 19 trang 57 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tam giác ABC vuông ở A, BC = 2a,  \(\widehat {ACB}\)  =30⁰. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với mp(ABC).

1) Xác định vị trí điểm B₁ trên Bx sao cho mặt cầu đường kính BB₁ tiếp xúc với Cy.

Xác định điểm C₁ trên Cy sao cho mặt cầu đường kính AC₁ tiếp xúc với Bx.

2) Với các điểm B₁, C₁ tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCC₁B₁ có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.

Giải

1) Gọi I là trung điểm của BB₁ thì mặt cầu đường kính BB₁ tiếp xúc với Cy tại J khi và chỉ khi \(IJ = {1 \over 2}B{B_1}\). Mặt khác, dễ thấy IJ = BC = 2a.

Vậy BB₁ = 4a. Hệ thức này xác định vị trí điểm B₁.

\( \bullet \) Gọi K là trung điểm của AC₁ thì mặt cầu đường kính AC₁ tiếp xúc với Bx khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm K đến Bx bằng \({1 \over 2}A{C_1}\), tức là \(K{K_1} = {1 \over 2}A{C_1}\) hay \(BK' = {1 \over 2}A{C_1}\), trong đó K’ là trung điểm của AC.

Dễ thấy AB = a, \(AC = a\sqrt 3 \), từ đó

\(BK{'^2} = {a^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{7{a^2}} \over 4} \Rightarrow BK' = {{a\sqrt 7 } \over 2}.\)

Như vậy,mặt cầu đường kính AC₁ tiếp xúc với Bx khi và chỉ khi \(A{C_1} = a\sqrt 7 \), từ đó \(CC_1^2 = 7{a^2} - 3{a^2} = 4{a^2}\), tức là \(C{C_1} = 2a\). Hệ thức này xác định vị trí điểm C₁. (Khi đó \(J \equiv {C_1}).\)

2) \( \bullet \) Khi BB₁ = 4a, CC₁ = 2a thì \(B{B_1}{C_1}C\) là hình thang vuông tại B, C với hai đáy có độ dài khác nhau nên \(B{B_1}{C_1}C\)  không có đường tròn ngoại tiếp. Vậy đa diện \(ABC{C_1}{B_1}\) không có mặt cầu ngoại tiếp.

Dễ thấy A.BCC₁B₁ là hình chóp đỉnh A, đáy là BCC₁B₁ và mp(ABC) vuông góc với mp(BCC₁B₁). Từ đó

\({V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}(B{B_1} + C{C_1}).BC.AH\)

(AH là đường cao của tam giác vuông ABC)

Hay \({V_{A.BC{C_1}{B_1}}} = {1 \over 6}(4a + 2a).AB.AC\)

                          \(= {1 \over 6}.6a.a.a\sqrt 3  = {a^3}\sqrt 3 .\)

Sachbaitap.com