Bài 1.52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số \(y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x\)

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = {3 \over 2}\).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:  \(y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  

\(\eqalign{
& y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R \cr
& y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x \cr
& y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2 \cr} \)                  .

+)Với a = 1, y’ = 2x + 1  đổi dấu khi x đi qua \( - {1 \over 2}\) . Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi x mà tại đó \(y' \ge 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ge 2\)   

(y’ = 0  chỉ tại x = -2 khi a = 2)

Vậy với \(a \ge 2\)  hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

\(\eqalign{
& y = 0 \Leftrightarrow x{\rm{[}}{{(a - 1){x^2}} \over 3} + ax + 3a - 2] = 0 \cr
& \Leftrightarrow  x{\rm{[}}(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6] = 0 \cr} \)

 y = 0    có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:

\((a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Muốn vậy, ta phải có: 

\(\left\{ \matrix{
a - 1 \ne 0 \hfill \cr
\Delta = 9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0 \hfill \cr
9a - 6 \ne 0 \hfill \cr} \right.\)                                

Giải hệ trên ta được:

\({{10 - \sqrt {28} } \over 9} < a < {2 \over 3};{2 \over 3} < a < 1;1 < a < {{10 + \sqrt {28} } \over 9}\)

c) Khi  \(a = {3 \over 2}\) thì \(y = {{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}\)

\(y' = {{{x^2}} \over 2} + 3x + {5 \over 2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = - 5 \hfill \cr} \right.\)      

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Vì 

\(|{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}| = \left\{ \matrix{
{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2},{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} \ge 0 \hfill \cr
- ({{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}),{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} < 0 \hfill \cr} \right.\)

Nên từ đồ thị  (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: \(y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|\)

Sachbaitap.com