Bài 16 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a) Cho \(\overrightarrow u (2; - 1;1),\overrightarrow v (m;3; - 1),\overrightarrow {\rm{w}} (1;2;1).\)

Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.

b) Cho \(\overrightarrow u (1;2;3),\overrightarrow v (2;1;m),\overrightarrow {\rm{w}} (2;m;1).\)

Tìm m để ba vec tơ trên không đồng phẳng.

c) Cho \(\overrightarrow u (1;1;2),\overrightarrow v ( - 1;3;1).\) Tìm vec tơ đơn vị đồng phẳng với \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) và tạo với \(\overrightarrow u \) góc 45⁰.

Giải

a)

\(\eqalign{  & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \matrix{   - 1 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr   - 1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  2 \hfill \cr  m \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  2 \hfill \cr  m \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 1 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = ( - 2;m + 2;m + 6).  \cr  & \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}}  =  - 2 + 2m + 4 + m + 6 = 3m + 8. \cr} \)

\(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\overrightarrow {\rm{w}}  = 0 \Leftrightarrow 3m + 8 = 0 \Leftrightarrow m =  - {8 \over 3}.\)

\(b)\;m \ne 1\) và \(m \ne 9.\)

c) Gọi vec tơ phải tìm là \(\overrightarrow {\rm{w}} (x;y;z).\)

Theo giả thiết \(\left| {\overrightarrow {\rm{w}} } \right| = {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)

\(\eqalign{  & \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \cos {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr&\Rightarrow {{x + y + 2z} \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr  &  \Rightarrow x + y + 2z = \sqrt 3 . \cr} \)

Mặt khác \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng nên \(\overrightarrow {\rm{w}}  = k\overrightarrow u  + l\overrightarrow v .\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = k - l \hfill \cr  y = k + 3l \hfill \cr  z = 2k + l \hfill \cr}  \right. \Rightarrow 5x + 3y - 4z = 0.\)

Vậy ta có hệ phương trình :

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \hfill \cr  x + y + 2z = \sqrt 3  \hfill \cr  5x + 3y - 4z = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = 5z - {{3\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr  y = {{5\sqrt 3 } \over 2} - 7z \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow 150{z^2} - 100\sqrt 3 z + 49 = 0  \cr  &  \Rightarrow z = {{(10 \pm \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}} \Rightarrow x = {{\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6},\cr&y = {{\left( {5 \pm 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}}. \cr} \)

Kết luận : Có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán :

\( \left( {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left( {5 - 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 + \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}}} \right)  \)

\(\left( {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left( {5 + 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 - \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}}} \right)  \)

Sachbaitap.com