Bài 20 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đường thẳng \(\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 2t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) và điểm \(M(3 ; 1).\)

a) Tìm điểm \(A\) trên \(\Delta \) sao cho \(A\) cách \(M\) một khoảng bằng \(\sqrt {13} \).

b) Tìm điểm \(B\) trên \(\Delta \) sao cho đoạn \(MB\) ngắn nhất.

Giải

a) Có hai điểm \({A_1}(0 ;  - 1), {A_2}(1 ;  - 2)\).

b) \(MB\) nhỏ nhất khi \(B\) trùng với hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) trên \(\Delta \).

\(\Delta \) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u ( - 2 ; 2)\). Vì \(H \in \Delta \) nên \(H=(-2-2t ; 1+2t)\). Ta có \(\overrightarrow {MH}  = ( - 5 - 2t ; 2t)\). Do \(MH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u  =  - 2.( - 5 - 2t) + 2.2t = 0\) hay \(t =  -  \dfrac{5}{4}\). Vậy \(H = \left( { \dfrac{1}{2} ;  -  \dfrac{3}{2}} \right)\).

Sachbaitap.com