Bài 22 trang 218 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

a) \(\cos {67^0}30'\) và \({\rm{cos7}}{{\rm{5}}^0}\)

b) \({{\cos {{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}}\)

c) \(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\)

d) \(\cos {\pi  \over 7}\cos {{4\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7}\)

Gợi ý làm bài

a) \(\cos {67^0}30' = \cos {{{{135}^0}} \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos {{135}^0}} \over 2}} \)

\( = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}\)

\(\cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3  - 1)\)

b) 

\(\eqalign{
& \cos {30^0} = {1 \over {\tan {{2.15}^0}}} \cr
& = {{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}} \over {2\tan {{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {2\cot {{15}^0}}} \cr} \)

Đặt \(x = \cos {15^0}\) và chú ý rằng \(\cos {30^0} = \sqrt 3 \) ta có

\(\sqrt 3  = {{{x^2} - 1} \over {2x}} \Leftrightarrow {x^2} - 2\sqrt 3  - 1 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \(x = 2 + \sqrt 3 \) (nghiệm \(x = \sqrt 3  - 2\) loại vì \(\cot {15^0} > 0\)). Do đó

\(\eqalign{
& {{{{\cot }^2}{{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}} = {{2 + \sqrt 3 + 1} \over {2(2 + \sqrt 3 )}} \cr
& = {{3 + \sqrt 3 } \over {2(2 + \sqrt 3 )}} = {{3 - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)

c) Ta có:

\(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} =  - \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {100^0}\)

\( =  - \tan ({60^0} - {40^0})\tan {40^0}\tan ({60^0} + {40^0})\)

\( =  - {{\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}} \over {1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\tan {40^0}{{\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}} \over {1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\)

\( =  - {{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}} \over {1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\tan {40^0} =  - \tan {120^0} = \sqrt 3 \)

d) Hướng dẫn: Nhân thêm \(\sin {\pi  \over 7}\)

Đáp số: \({1 \over 8}\)

Sachbaitap.net