Bài 28 trang 59 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng \(4\pi .\)

1) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

2) Tính thể tích khối trụ.

3) Tính thể tích khối lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ.

4) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ.

5) Một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với trục hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện \(AB{B_1}{A_1}\). Biết một cạnh của thiết diện là dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung 120⁰. Tính diện tích thiết diện.

Giải

1) Từ \({S_{xq}} = 2\pi R.O{O_1}\) (R là bán kính đáy)

\({S_{xq}} = 2\pi R.(R + O{O_1}),\)

Ta có \({{{S_{tp}}} \over {{S_{xq}}}} = {R \over {O{O_1}}} + 1 = {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2}.\)

Vậy \({S_{tp}} = {3 \over 2}.4\pi  = 6\pi .\)

2) Ta có

\(\eqalign{  & 4\pi  = {S_{xq}} = 2\pi R.O{O_1} = 2\pi .R.2R  \cr  &  \Rightarrow R = 1. \cr} \)

Thể tích khối trụ là

\(V = \pi {R^2}.O{O_1} = 2\pi {R^3} = 2\pi .\)

3) Gọi \({A_1}{C_1}\) là một cạnh của n-giác đều nội tiếp đáy hình trụ thì

\(\widehat {{A_1}{O_1}{C_1}} ={{2\pi } \over n}\) và diện tích đáy hình lăng trụ bằng

\(\eqalign{  & {S_n} = n.{S_{\Delta {A_1}{O_1}{C_1}}} = n.{1 \over 2}{R^2}\sin {{2\pi } \over n} \cr&\;\;\;\;\;\;= {n \over 2}{R^2}\sin {{2\pi } \over n} = {n \over 2}\sin {{2\pi } \over n}  \cr  & {V_n} = {S_n}.O{O_1} = n\sin {{2\pi } \over n}. \cr} \)

4) Đường tròn lớn của hình cầu ngoại tiếp hình trụ là đường tròn ngoại tiếp thiết diện qua trục. Vậy bán kính mặt cầu là \({R_C} = R\sqrt 2 \) (R là bán kính đáy của hình trụ ). Từ đó thể tích khối cầu phải tìm là

\({V_C} = {4 \over 3}\pi {({R_C})^3} = {{8\pi \sqrt 2 } \over 3}.\)

5) Với thiết diện \(AB{B_1}{A_1}\) như hình vẽ, ta có \(\widehat {{A_1}{O_1}{B_1}}\)=120⁰, từ đó

\({A_1}{B_1} = 2R\sin {120^0} = R\sqrt 3 .\)

Vậy \({A_1}{B_1} = \sqrt 3 .\)

Do đó diện tích thiết diện là : \({A_1}{B_1}.A{A_1} = \sqrt 3 .2 = 2\sqrt 3 .\)

Sachbaitap.com