Bài 31, 32, 33 trang 23, 24 SGK Toán 9 tập 2 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Bài 31 trang 23 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên \(3\) cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm \(36\) cm², và nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì diện tích của tam giác giảm đi \(26\) cm²

Lời giải: 

Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 2, y > 4\).

\(\Rightarrow\) Diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là: \(S=\dfrac{1}{2}xy\) \((cm^2)\).

Độ dài hai cạnh sau khi tăng mỗi cạnh thêm \(3\) cm là:  \((x+3)\) (cm) và \((y+3)\) (cm).

\(\Rightarrow\) Diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x+3)(y+3) \) \((cm^2)\)

Vì diện tích lúc này tăng thêm \(36\) cm² so với ban đầu, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36\) (1) 

+ Nếu một cạnh giảm đi \(2\)cm, cạnh kia giảm đi \(4\) cm thì độ dài 2 cạnh sau khi giảm là: \((x-2)\) (cm) và \((y-4)\) (cm)

\(\Rightarrow\) Diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: \(\dfrac{1}{2}(x-2)(y-4)\) \((cm^2)\)

Lúc này diện tích tam giác giảm \(26\) \(cm^2\) so với ban đầu, nên ta có phương trình:

\(\dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}(x + 3)(y + 3)= \dfrac{1}{2}xy + 36 & & \\ \dfrac{1}{2}(x - 2)(y- 4) = \dfrac{1}{2}xy - 26 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 & & \\ xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy + 3x + 3y -xy  = 72-9 & & \\ xy - 4x - 2y - xy= - 52 -8& & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x + 3y = 63 & & \\ -4x - 2y =- 60 & & \end{matrix}\right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 21\\
2x + y = 30
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + y - \left( {x + y} \right) = 30 - 21\\
x + y = 21
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 9\\
9 + y = 21
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 9\\
y = 12
\end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là \(9\) cm, \(12\) cm.

Bài 32 trang 23 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và \(9\) giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Phương pháp: 

B1: Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp.

      Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

      Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.

B2: Giải hệ phương trình.

B3: Kiểm tra trong các nghiệm tìm được nghiệm nào thỏa mãn điều kiện, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi trả lời

Chú ý: +) Quy ước chảy đầy bể là \(1\).

          +) Một vòi chảy đầy bể trong \(x\) giờ thì trong \(1\) giờ chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể. 

Lời giải:

Đổi \(4\dfrac{4}{5}\) giờ  \(=\dfrac{5.4+4}{5}\) giờ \(=\dfrac{24}{5}\) giờ

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > \dfrac{24}{5})\). 

      \(y\) (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > \dfrac{24}{5})\).

Trong \(1\) giờ vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.

Suy ra trong \(1\) giờ, cả hai vòi chảy được: \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) (bể)

Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ = \(\dfrac{24}{5}\) giờ nên trong \(1\) giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\dfrac{5}{24}\) bể.

Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}= \dfrac{5}{24}\)  (1)

Trong \(9\) giờ, vòi thứ nhất chảy được \(9.\dfrac{1}{x}\) bể.

Trong \(\dfrac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}\) bể.

Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy \(9h\) sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\dfrac{6}{5}\) giờ đầy bể nên ta có phương trình:

\(9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. {\left( \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}\right)}=1\)

\( \Leftrightarrow  9. \dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}. \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  {\left(9+\dfrac{6}{5}\right)} \dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\)

\( \Leftrightarrow  \dfrac{51}{5}.\dfrac{1}{x}+ \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y}=1\) \( \Leftrightarrow  51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} & & \\ 51. \dfrac{1}{x}+ 6. \dfrac{1}{y}=5 & & \end{matrix}\right.\)

Đặt  \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\)  với \(a > 0,\ b> 0.\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{5}{24} & & \\ 51a+ 6b=5 & & \end{matrix}\right.\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6a + 6b = \dfrac{5}{4}\\
51a + 6b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
51a + 6b - \left( {6a + 6b} \right) = 5 - \dfrac{5}{4}\\
6a + 6b = \dfrac{5}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
45a = \dfrac{{15}}{4}\\
a + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
\dfrac{1}{{12}} + b = \dfrac{5}{{24}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{5}{{24}} - \dfrac{1}{{12}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{{12}}\\
b = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.\left( {\,thỏa\,mãn} \right)
\end{array}\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =12 & & \\ y=8  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau \(8\) giờ bể sẽ đầy.

Cách khác:

Gọi lượng nước vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình trong 1 giờ lần lượt là x (bể) và y (bể).

Điều kiện 0 < x, y < 1.

+ Cả hai vòi cùng chảy trong \(4\dfrac{4}{5} = 4,8\) giờ đầy 1 bể nên ta có phương trình: \(4,8x + 4,8y = 1.\)

+ Nếu mở vòi thứ nhất trong 9 giờ thì chảy được 9x (bể)

Sau \(\dfrac{6}{5} = 1,2\) giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì chảy thêm được: \(1,2 (x + y)\) (bể)

Khi đó bể đầy nên ta có phương trình: \(9x + 1,2(x + y) = 1.\)

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
9x + 1,2\left( {x + y} \right) = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
10,2x + 1,2y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
40,8x + 4,8y = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
40,8x + 4,8y - \left( {4,8x + 4,8y} \right) = 4 - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4,8x + 4,8y = 1\\
36x = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{12}}\\
4,8.\dfrac{1}{{12}} + 4,8y = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{{12}}\\
y = \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)

⇒ một giờ vòi hai chảy một mình được \(\dfrac{1}{8}\) bể

Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể. 

Bài 33 trang 24 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Hai người thợ cùng làm một công việc trong \(16\) giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Lời giải:

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: \(x\) giờ, người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 16, y > 16\). 

Trong \(1\) giờ người thứ nhất làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, người thứ hai làm được \(\dfrac{1}{y}\) công việc.

Do đó cả hai người cùng làm chung thì trong 1 giờ làm được: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc.

Theo đề bài, hai người làm chung trong \(16\) giờ thì xong nên trong \(1\) giờ hai người làm được: \(\dfrac{1}{16}\) công việc.

Nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{16}\)  (1).

Trong \(3\) giờ, người thứ nhất làm được: \(3. \dfrac{1}{x}\) công việc.

Trong \(6\) giờ người thứ hai làm được: \(6. \dfrac{1}{y}\) công việc.

Theo đề bài, nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được \(25\) %\(=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}\) công việc.

Nên ta có phương trình: \(3. \dfrac{1}{x} +  6.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\)  (2)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{16} & & \\ 3.\dfrac{1}{x} + 6. \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).

Đặt  \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=a & & \\  \dfrac{1}{y}=b & & \end{matrix}\right.\)  với \(a > 0,\ b> 0.\)

Hệ đã cho trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} a + b = \dfrac{1}{16} & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a =\dfrac{1}{16} -b & & \\ 3a+ 6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3{\left(\dfrac{1}{16} -b \right)}+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\  3.\dfrac{1}{16} -3b+6b=\dfrac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{16}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  a = \dfrac{1}{16}-b & & \\ 3b=\dfrac{1}{16} & & \end{matrix}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  a = \dfrac{1}{16}- \dfrac{1}{48} & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}  a = \dfrac{1}{24} & & \\ b=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)  \right.\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{24} & & \\  \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{48} & & \end{matrix}\right.\) \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =24 & & \\ y=48  & & \end{matrix} (thỏa\ mãn)\right.\)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong \(24\) giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong \(48\) giờ.  

Sachbaitap.com