Bài 3.7 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) chứng minh rằng

Nếu \({{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}\)

Thì \({{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{2m - 1} \over {2n - 1}}\)                             

Giải:

Ta có \({S_m} = {{2{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \over 2}m\) ;

\({S_n} = {{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \over 2}n.\)           

Theo giả thiết

\({{{S_m}} \over {{S_n}}} = {{\left[ {2{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \right]m} \over {\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}} = {{{m^2}} \over {{n^2}}}\)         

Suy ra \(\left( {2{u_1} - d} \right)\left( {m - n} \right) = 0\) (với m ≠ n ).

Từ đó \({u_1} = {d \over 2}\)

Vậy \({{{u_m}} \over {{u_n}}} = {{{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \over {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}} = {{{d \over 2} + \left( {m - 1} \right)d} \over {{d \over 2} + \left( {n - 1} \right)d}} = {{2m - 1} \over {2n - 1}}\)