Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x + 2\cos 2x = 0\)

b) \(\sin x - {1 \over {\sin x}} = {\sin ^2}x - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\)

c) \(\cos x\tan 3x = \sin 5x\)

d) \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\)

Giải:

a) \(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x + 2\cos 2x = 0{\rm{        }}\left( 1 \right)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& 1 - \sin 2x = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}; \cr
& 2\cos 2x = 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) \cr
& = - 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right), \cr} \)

Vậy 

\(\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \sin x - \cos x - 2\sin x - 2\cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x - 3\cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = \cos x \hfill \cr
3\cos x + \sin x = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
{3 \over {\sqrt {10} }}\cos x + {1 \over {\sqrt {10} }}\sin x = {1 \over {\sqrt {10} }} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = \alpha \pm \arccos {1 \over {\sqrt {10} }} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

trong đó, \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {10} }},\sin \alpha  = {1 \over {\sqrt {10} }}\)

b) \(\sin x - {1 \over {\sin x}} = {\sin ^2}x - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\left( 2 \right)\)

Điều kiện sinx ≠ 0

\(\eqalign{
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {\sin x - {{\sin }^2}x} \right) + \left( {{1 \over {{{\sin }^2}x}} - {1 \over {\sin x}}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - \sin x} \right) + {{1 - \sin x} \over {{{\sin }^2}x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {{{\sin }^3}x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 1 \hfill \cr
\sin x = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr} \)

(thỏa mãn điều kiện)

c) \(\cos x\tan 3x = \sin 5x\left( 3 \right)\)

Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

\(\eqalign{
& \left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos x\sin 3x = \cos 3x\sin 5x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) = {1 \over 2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \sin 8x = \sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8x = 4x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
8x = \pi - 4x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

\(x = k\pi ,k \in Z\) và \(x = {\pi  \over {12}} + k{\pi  \over 6},k \in Z\)

d) \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\left( 4 \right)\)

Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,

\(\eqalign{
& \left( 4 \right) \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {\tan x + \cot x} \right)}^2} - 2} \right] + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0 \cr}\)

Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

\(2{t^2} + 3t - 2 = 0 \Rightarrow t =  - 2,t = {1 \over 2}\)

Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x + 1 = 0 \Rightarrow \tan x = - 1 \cr
& \Rightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z{\rm{ }} \cr} \)

(thỏa mãn điều kiện)

Với \(t = {1 \over 2}\) ta có \(\tan x + \cot x = {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - \tan x + 2 = 0\)

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là \(x =  - {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in Z\)