Bài 45 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện đều ABCD, AA₁ là một dường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm của AA₁. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Giải

Gọi N là trung điểm của BC và J là giao điểm của NI với AD, khi đó mp(BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện  BCDJ và ABCJ.

Dễ thấy \({\rm{AJ = }}{1 \over 4}AD.\)

Vì \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} \bot mp(BCD)\) nên mọi điểm thuộc \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) cách đều B,C, D. Khi đó, tâm O₁ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là giao điểm của \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) với đường trung trực của JD( xét trong mp(\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}D\))).

Tương tự như trên, tâm O₂ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là giao của với đường trung trực của AJ ( xét trong mp(ADD₁))(DD₁ là đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD).

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DJ và AJ. Xét tứ giác nội tiếp \({O_1}{A_1}DE\) (hình 89b), ta có

\(\eqalign{  & AE.AD = A{O_1}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1}  \cr  &  \Rightarrow A{O_1} = {{AE.AD} \over {A{A_1}}}. \cr} \)

Mặt khác

\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},AE = {a \over 4} + {{3a} \over 8} = {{5a} \over 8}.\)

Từ đó

\(A{O_1} = {{5a.a} \over {8.{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{5a\sqrt 6 } \over {16}}.\)

Và do đó \({A_1}{O_1} = {A_1}A - A{O_1} \)

                           \(= {{a\sqrt 6 } \over 3} - {{5a\sqrt 6 } \over {16}} = {{a\sqrt 6 } \over {48}}\)

Vậy bán kính \({R_1}\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ  là

\(\eqalign{  & R_1^2 = {O_1}{D^2} = {A_1}O_1^2 + {A_1}{D^2}\cr&\;\;\;\;\;\; = {{6{a^2}} \over {{{48}^2}}} + {{3{a^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{129.{a^2}} \over {48.8}}  \cr  &  \Rightarrow {R_1} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}. \cr} \)

Từ giác \({O_2}{D_1}FA\) nội tiếp đường tròn nên

\({\rm{D}}{{\rm{D}}_1}.D{O_2} = DF.DA \Rightarrow D{O_2} = {{DF.DA} \over {D{D_1}}}.\)

Mặt khác

\(DF = {{3a} \over 4} + {a \over 8} = {{7a} \over 8},DA = a,{\rm{D}}{{\rm{D}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},\) từ đó

\(D{O_2} = {{{{7a} \over 8}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{21a\sqrt 6 } \over {8.6}} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}}.\)

Suy ra \({{\rm{D}}_1}{{\rm{O}}_2} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}} - {{a\sqrt 6 } \over 3} = {{5a\sqrt 6 } \over {48}}\) và do đó, bán kính \({R_2}\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là

\(R_2^2 = {O_2}A_2^2 = {O_2}D_1^2 + {D_1}{A^2} \)

       \(= {{25{a^2}.6} \over {{{48}^2}}} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \)

       \(= {{25{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{153{a^2}} \over {48.8}},\)

Từ đó \({R_2} = {{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }}.\) Vậy \({{{R_1}} \over {{R_2}}} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}:{{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }} = \sqrt {{{43} \over {51}}} .\)

Sachbaitap.com