Bài 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.12 trang 50, 51 SBT Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.7 trang 50 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng

\(\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Lời giải:

Gọi điểm \(O\) bất kỳ, vẽ vectơ \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nên \(O,\,\,A,\,\,B\) không thẳng hàng.

Xét \(\Delta ABC,\) áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}OA - AB < OB < OA + AB\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\end{array}\)

Bài 4.8 trang 50 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý thuộc cạnh \(BC,\) khác \(B\) và \(C.\) \(MO\) cắt cạnh \(AD\) tại \(N.\)

a) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \(MN.\)

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Chứng minh rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC.\)

Lời giải:

a)  Xét \(\Delta BOM\) và \(\Delta DON\) có:

\(\widehat {BMO} = \widehat {DNO}\) (2 góc so le trong)

\(OB = OD\)

\(\widehat {BOM} = \overrightarrow {DOC} \) (2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BOM = \Delta DON\) (g.c.g)

\( \Rightarrow \) \(OM = ON\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \) \(O\) là trung điểm của \(MN\)

b)  Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\Delta BOM = \Delta DON\)

\( \Rightarrow \) \(BM = DN\)

Mặt khác \(BM\)//\(DN\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {ND} \)

Xét \(\Delta MNC\):

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GC}  = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DN} } \right) + \overrightarrow {GC} \)

\( = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DN} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MNC\)

Bài 4.9 trang 50 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tứ giác \(ABCD.\)

a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 .\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} .\)

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} \)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

b) Biến đổi vế trái: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  + \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \) (đpcm).

Bài 4.10 trang 51 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\)

a) Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \)

b) Xác định điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {MA} .\)

c) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} .\)

Lời giải:

a) Ta có: \(DF\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {DF} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(CDFE\) là hình bình hành.

Ta có: \(D\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {FB} ,\) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DC} \) 

Ta có: \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {CF}  + \overrightarrow {FB}  = \overrightarrow {CB} \)

b) Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {CB} \)

mặt khác \(\overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {MA} .\)

nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {MA} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(E\)

c) Theo câu b, ta có: tứ giác \(ABCM\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} .\)

Bài 4.11 trang 51 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vị trí cân bằng \(A.\) Cho biết \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 30N,\,\,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 40N.\) Tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} .\)

Lời giải:

Ta có: \(\widehat {BAC} = {90^ \circ }\)

Nên tứ giác \(ABEC\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow F } \right| = AE = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}}  = 50\,\,(N)\)

Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) có cùng cường độ và ngược chiều nhau

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {F{}_3} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = AD = 50\,\,(N)\)

Bài 4.12 trang 51 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trên mặt phẳng, chất điểm \(A\) chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng \({60^ \circ }.\) Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}} ,\) biết rằng \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt 3 N.\)

Lời giải:

Giả sử \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD} \) lần lượt biểu thị cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) và vectơ \(\overrightarrow {AE} \) biểu thị cho hợp lực của hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} \)

Ta có: tứ giác \(ABEC\) là hình bình hành

mặt khác \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\)

nên tứ giác \(ABEC\) là hình thoi

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) là tam giác đều

\( \Rightarrow \) \(AE = 2.\frac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 6\,\,(N)\)

Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) có cùng cường độ và ngược chiều nhau

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {F{}_3} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = AE = 6\,\,(N)\)

Sachbaitap.com