Bài 5 trang 116 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng ?

$\eqalign{  & a)A = (1;3;1),B = (0;1;2),C = (0;0;1);  \cr  & b)A = (1;1;1),B = ( - 4;3;1),C = ( - 9;5;1);  \cr  & c)A = (0; - 2;5),B = (3;4;4),C = (2;2;1);  \cr  & d)A = (1; - 1;5)B = (0; - 1;6),C = (3; - 1;5);  \cr  & e)A = (1;2;4),B = (2;5;0),C = (0;1;5). \cr}$

Giải

a) $\overrightarrow {CA}  = (1;3;0),\overrightarrow {CB}  = (0;1;1).$

Cách 1 : A, B,C thẳng hàng $\Rightarrow \exists k$ để $\overrightarrow {CA}  = k\overrightarrow {CB}  \Leftrightarrow \exists k$ để $\left\{ \matrix{  1 = k.0 \hfill \cr  3 = k.1 \hfill \cr  0 = k.1 \hfill \cr}  \right.$

Điều này không xảy ra.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

Cách 2 :$\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = \left( {\left| \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|} \right)$

                                   $= (3; - 1;1) \ne \overrightarrow 0$

$\Rightarrow A,B,C$ không thẳng hàng.

b) $\overrightarrow {CA}  = (10; - 4;0),\overrightarrow {CB}  = (5; - 2;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow {CA}  = 2\overrightarrow {CB}  \Rightarrow A,B,C$ thẳng hàng.

Cách khác : $\left[ {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right] = \left( {\left| \matrix{   - 4 \hfill \cr   - 2 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  0 \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  10 \hfill \cr  5 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  10 \hfill \cr  5 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 4 \hfill \cr   - 2 \hfill \cr}  \right|} \right)$

                      $= (0;0;0) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow A,B,C$ thẳng hàng.

c) Không thẳng hàng

d) $\overrightarrow {CA}  = \left( { - 2;0;0} \right),\,\overrightarrow {CB}  = \left( { - 3;0;1} \right)$

$\Rightarrow$ A, B, C không thẳng hàng.

e) Không thẳng hàng

Sachbaitap.com