Bài 7 trang 116 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh bốn điểm A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Tính độ dài các đường chéo, xác định tọa độ của tâm hình chữ nhật đó. Tính côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

Giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = (0;4;0),\) vậy ABCD là hình bình hành.

Lại có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \) \(\widehat {BAD} = \) 90⁰.

Vậy ABCD là hình chữ nhật.

Vì \(\overrightarrow {AC} \)=(3;4;0) nên độ dài đường chéo của hình chữ nhật là

\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = BD = 5.\)

Tâm O của hình chữ nhật là trung điểm của đường chéo AC nên \(O = \left( {{5 \over 2};1;1} \right).\)

\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {{9 - 16} \over {\sqrt {25} .\sqrt {25} }} = {{ - 7} \over {25}}.\)

Sachbaitap.com