Bài 54 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N.

Chứng minh rằng :

\(a){V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = {V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}};\)

\(b){{SA} \over {SK}} + {{SC} \over {SM}} = {{SB} \over {SL}} + {{SD} \over {SN}}.\)

Giải

(h.38)

a) Dễ thấy các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD đều có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích S của hình bình hành ABCD ; các hình chóp S.ABC, S.ACD, S.ABD, S.BCD có chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao h của hình chóp S.ABCD. Vậy

\(\eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD}} = {V_{S.ABD}} = {V_{S.BCD}}  \cr  &  = {{{V_{S.ABCD}}} \over 2} = {V \over 2}. \cr} \)

b) Ta có :

\(\eqalign{  & {{{V_{S.KLM}}} \over {{V \over 2}}} = {{SK} \over {SA}}.{{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}},\cr&{{{V_{S.KMN}}} \over {{V \over 2}}} = {{SK} \over {SA}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}}  \cr  &   \cr} \)

Tương tự

\({{{V_{S.KLMN}}} \over {{V \over 2}}} = {{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} + {{SL} \over {SB}}.{{SN} \over {SD}}.{{SK} \over {SA}}\;\;\;\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\({{SK} \over {SA}}.{{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}} + {{SK} \over {SA}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} \)

\(= {{SL} \over {SB}}.{{SM} \over {SC}}.{{SN} \over {SD}} + {{SL} \over {SB}}.{{SN} \over {SD}}.{{SK} \over {SA}}.\)

Nhân hai vế với \({{SA} \over {SK}}.{{SB} \over {SL}}.{{SC} \over {SM}}.{{SD} \over {SN}},\) ta được đẳng thức phải chứng minh.

Sachbaitap.com