Bài 54 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoCho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. a) Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’ và A’B. b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP). c) Tính thể tích tứ diện AMNP. Giải
a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là đỉnh A’ của hình lập phương, tia Oy chứa A’B’, tia Oy chứa A’D’ và tia Oz chứa AA’. Khi đó A’(0;0;0), B’(1;0;0); D’(0;1;0), A=(0;0;1); C=(1;1;1), B=(1;0;1); D=(0;1;1), C’(1;1;0). Từ đó : \(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} = (1;1; - 1),\overrightarrow {A'B} = (1;0;1) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A'B} = 0 \Rightarrow AC' \bot A'B. \cr} \) b) Ta có \(\eqalign{ & M = \left( {{1 \over 2};0;0} \right),N = \left( {1;{1 \over 2};1} \right),P = \left( {0;1;{1 \over 2}} \right). \cr & \overrightarrow {MN} = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MN \bot AC'. \cr & \overrightarrow {MP} = \left( { - {1 \over 2};1;{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {AC'} = 0 \cr&\Rightarrow MP \bot AC'. \cr & \cr} \) Vậy \(AC' \bot mp(MNP).\) c) Ta có : \(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} = \left( { - {1 \over 2};0;1} \right). \cr & \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ {1 \over 2} \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|} \right) \cr&= \left( { - {3 \over 4}; - {3 \over 4};{3 \over 4}} \right) \cr & \Rightarrow {V_{AMNP}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MA} } \right| \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}.\left| {{9 \over 8}} \right| = {3 \over {16}}. \cr} \) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Bài 2. Phương trình mặt phẳng
|
Viết phương trình tham số của đường thẳng d, biết :
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d biết :
Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng d biết :