Bài 62 trang 14 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoCho hình tứ diện ABCD, Cho hình tứ diện ABCD. 1. Chứng minh rằng nếu chân H của đường cao hình tứ diện xuất phát từ A trùng với trực tâm của tam giác BCD và nếu \(AB \bot AC\) thì \(AC \bot AD\) và \(AD \bot AB.\) 2.Giả sử BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân đường cao của hình tứ diện xuất phát từ A, J là chân của đường vuông góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH = h, HJ = d. Tính thể tích của hình tứ diện ABCD theo d và h. Giải: 1.(h.44)
Do H là trực tâm \(\Delta BCD\) nên \(BH \bot CD.\) Mặt khác \(AH \bot (BCD)\) nên \(AH \bot CD.\) Vậy \(CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot AB.\) Cùng với giả thiết \(AC \bot AB\), ta suy ra \(AB \bot (ACD) \Rightarrow AB \bot AD.\) Tương tự \(AC \bot AD.\) 2.(h.45) Từ AB = AC = AD suy ra HB = HC = HD, tức H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Xét tam giác vuông AHD, ta có : \(\eqalign{ & {1 \over {H{J^2}}} = {1 \over {A{H^2}}} + {1 \over {H{D^2}}} \cr & \Rightarrow {1 \over {H{D^2}}} = {1 \over {{d^2}}} - {1 \over {{h^2}}} \cr & \Rightarrow HD = {{hd} \over {\sqrt {{h^2} - {d^2}} }}. \cr} \) Do tam giác BCD đều nên \(DH = BC.{{\sqrt 3 } \over 3},\) hay \(BC = DH\sqrt 3 .\) Vậy \(V = {1 \over 3}{S_{BCD}}.AH = {{\sqrt 3 {d^2}{h^3}} \over {4\left( {{h^2} - {d^2}} \right)}}.\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương I - Khối đa diện và thể tích của chúng
|
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất :
Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là một hình thoi với diện tích S1.