Bài 72 trang 114 SBT Hình học 10 Nâng cao

(h.88). Cho hai đường tròn \((C_1)\) và \((C_2)\) nằm ngoài nhau và có bán kính không bằng nhau. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn cùng tiếp xúc ngoài hoặc cùng tiếp xúc trong với \((C_1)\) và \((C_2)\) nằm trên một hypebol với các tiêu điểm là tâm của các đường tròn \((C_1)\) và \((C_2)\). Tâm đối xứng của hypebol này nằm ở đâu ?

Giải

(h.114).

Kí hiệu \(O_1, R_1\) là tâm và bán kính của đường tron \((C_1); O_2, R_2\) là tâm và bán kính của đường tròn \((C_2).\)

Xét đường tròn thay đổi \((C)\), tâm \(O\), bán kính \(R\). \((C)\) tiếp xúc ngoài với \((C_1)\) tại \(M\), với \((C_2)\) tại \(N\). Ta có:

\(|O{O_1} - O{O_2}| \)

\(    =     |(OM + {O_1}M) - (ON + {O_2}N)|   \)

\(=    |{O_1}M - {O_2}N|    =    |{R_1} - {R_2}|  > 0\) (do \({R_1} \ne {R_2}\)).

Do đó \(O\) nằm trên một hypebol có các tiêu điểm là \(O_1\) và \(O_2\). Tâm đối xứng của hypebol này là trung điểm của \(O_1O_2\). Lập luận tương tự cho trường hợp đường tròn \((C)\) cùng tiếp xúc trong với các đường tròn \((C_1), (C_2).\)

Sachbaitap.com