Bài 76 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng :

\(d:\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 - t \hfill \cr  z = 2t. \hfill \cr}  \right.\)

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}( - 3;1; - 1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):4x - 3y - 13 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):y - 2z + 5 = 0.\)

c) Tìm độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; - 1;1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):y + z - 4 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):2x - y - z + 2 = 0.\)

Giải

a) Phương trình mặt phẳng qua điểm \({M_O}(2; - 1;1)\) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là

\(2(x - 2) + \left( { - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x - y + 2z - 7 = 0.\)

Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: \(H = \left( {{{17} \over 9}; - {{13} \over 9};{8 \over 9}} \right).\)

Gọi \({M_0}'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \({M_o}\) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng\({M_o}{M_o}'\) . Do đó

        \(\left\{ \matrix{  {{x + 2} \over 2} = {{17} \over 9} \hfill \cr  {{y - 1} \over 2} =  - {{13} \over 9} \hfill \cr  {{z + 1} \over 2} = {8 \over 9}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \({M_o}' = \left( {{{16} \over 9}; - {{17} \over 9};{7 \over 9}} \right).\)

b) Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4;2} \right).\)

Khi đó phương trình mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d là :

        \(\left( \alpha  \right):3x + 4y + 2z + 7 = 0.\)

Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của d và \(\left( \alpha  \right)\), ta có \({H}= \left( {1; - 3;1} \right).\)

Gọi \(M_o'\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của \({M_o}\) qua d, ta có \(M_o' = (5; - 7;3).\)

c) Ta xác định vectơ chỉ phương của d:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {\left| {\matrix{   1 & 1  \cr   { - 1} & { - 1}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & 0  \cr   { - 1} & 2  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & 1  \cr   2 & { - 1}  \cr  } } \right|} \right)\)

      \(= \left( {0;2; - 2} \right).\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d, khi đó \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình: \(y - z + 2 = 0.\)

Gọi H là giao điểm của d với mp\(\left( \alpha  \right)\), toa độ của \(H(x;y;z)\) là nghiệm của hệ:

        \(\left\{ \matrix{  y + z - 4 = 0 \hfill \cr  2x - y - z + 2 = 0 \hfill \cr  y - z + 2 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow H = \left( {1;1;3} \right).\)

Từ đó, điểm \(M_o'\) đối xứng với \({M_o}\) qua d là \(M_o' = \left( {0;3;5} \right).\)

Sachbaitap.com