Bài 79 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD.

a) Tính khoảng cách từ đỉnh A tới mặt phẳng (BCM) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, CN.

b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).

c) Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mặt phẳng (BCM).

Giải

 Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là điểm A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa SA (h. 104).

Khi đó

\(\eqalign{  & A = \left( {0;0;0} \right),B = \left( {a;0;0} \right),  \cr  & C = \left( {a;a;0} \right),D = \left( {0;a;0} \right),  \cr  & S = \left( {0;0;2a} \right),M\left( {0;0;a} \right),  \cr  & N = \left( {0;{a \over 2};a} \right). \cr} \)

a) \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;a;0} \right),\)

\(\overrightarrow {BM}  = \left( { - a;0;a} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BM} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   a & 0  \cr   0 & a  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & 0  \cr   a & { - a}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & a  \cr   { - a} & 0  \cr  } } \right|} \right)\)

                             \(= \left( {{a^2};0;{a^2}} \right).\)

Do đó, mặt phẳng (BCM) có vectơ pháp tuyến là (1; 0; 1), suy ra phương trình mặt phẳng (BCM) là:

\(1\left( {x - a} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z -a= 0.\)

Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCM)

        \(d\left( {A,\left( {BCM} \right)} \right) = {{\left| { - a} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {a \over {\sqrt 2 }}.\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {BS}  = \left( { - a;0;2a} \right),\overrightarrow {CN}  = \left( { - a; - {a \over 2};a} \right),\)

\(\overrightarrow {SC}  = \left( {a;a; - 2a} \right).\)

Suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right] \)

\(= \left( {\left| {\matrix{   0 & {2a}  \cr   { - {a \over 2}} & a  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   {2a} & { - a}  \cr   a & { - a}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - a} & 0  \cr   { - a} & { - {a \over 2}}  \cr  } } \right|} \right) \)

\(= \left( {{a^2}; - {a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {SC}  = {a^3} - {a^3} - {a^3} =  - {a^3}.\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CN là

\(d\left( {SB,CN} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CN} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CN} } \right]} \right|}} \)

                       \(= {{\left| { - {a^3}} \right|} \over {\sqrt {{a^4} + {a^4} + {{{a^4}} \over 4}} }} = {{{a^3}} \over {{{3{a^2}} \over 2}}} = {{2a} \over 3}.\)

b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;2{a^2};{a^2}} \right)\) nên mp(SCD) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {0;2;1} \right).\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {2{a^2};0;{a^2}} \right)\) nên mp(SBC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {2;0;1} \right).\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC), ta có

        \(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = {1 \over 5}.\)

c) \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{a^2}.2a = {2 \over 3}{a^3}.\)

Vì M là trung điểm của SA suy ra \(d\left( {S,\left( {BCM} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCM} \right)} \right) = {a \over {\sqrt 2 }}.\)

Hình chóp S.ABCD bị mp(BCM) chia làm 2 phần, trong đó có một phần là hình chóp S.BCNM. Hình chóp này có đường cao bằng \(d\left( {S,\left( {BCM} \right)} \right) = {a \over {\sqrt 2 }}\) và đáy là hình thang BCNM có diện tích bằng \({1 \over 2}\left( {a + {a \over 2}} \right)a\sqrt 2  = {{3\sqrt 2 {a^2}} \over 4}.\)

Suy ra: \({V_{S.BCNM}} = {1 \over 3}.{{3\sqrt 2 {a^2}} \over 4}.{a \over {\sqrt 2 }} = {{{a^3}} \over 4}.\)

Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp S.ABCD chia bởi mp(BCM) là: \({{{{{a^3}} \over 4}} \over {{{2{a^3}} \over 3} - {{{a^3}} \over 4}}} = {3 \over 5}.\)

Sachbaitap.com