Bài 83 trang 136 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng:

$d:\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2 - t. \hfill \cr}  \right.$

Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng

$\left( \alpha  \right):3y - z - 7 = 0$ và $\left( {\alpha '} \right):3x + 3y - 2z - 17 = 0.$

a) Chứng minh d, d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d’ và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P).

c) Một mặt phẳng (Q) thay đổi, luôn song song với mặt phẳng (Oxy), cắt d, d’ lần lượt tại M, M’. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’.

Giải

a) Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n$ = (0 ; 3 ; -1) và $\overrightarrow {n'}$  = (3 ; 3 ; -2) nên d' có một vectơ chỉ phương là :

$\overrightarrow {{u_{d'}}}  =  - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {1;1;3} \right).$

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}}$ của d là $\overrightarrow {{u_d}}$ = (2 ; 1 ; -1).

Vì $\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0$ nên $d \bot d'.$

Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung (hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm). Vậy chúng chéo nhau.

b) Ta lấy một điểm A nào đó thuộc $d'$. Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có $A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right) \in d'.$. Vì d$\bot$ d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua $d'$. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là :

$2(x - 1) + (y - 0) - (z + 7) = 0$

$\Leftrightarrow  2x + y- z- 9 = 0.$

Toạ độ giao điểm H(x ; y ; z) của d và (P) thoả mãn hệ

$\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2{\rm{  -  }}t \hfill \cr  2x + y - z - 9 = 0 \hfill \cr}  \right.$

$\Rightarrow t = {5 \over 3} \Rightarrow H = \left( {{{13} \over 3};{2 \over 3};{1 \over 3}} \right).$

c) Mặt phẳng (Q) song song với mp(Oxy) nên có phương trình

                         z = m (m$\ne$0).

Toạ độ giao điểm M(x ; ỵ ; z) của d và (Q) thoả mãn hệ

$\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 1 + t \hfill \cr  z = 2 - t \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M = \left( {5 - 2m;1 - m;m} \right).$

Toạ độ giao điểm $M'$(x ; ỵ ; z) của $d'$ và (Q) thoả mãn hệ

$\left\{ \matrix{  3y - z - 7 = 0 \hfill \cr  3x + 3y - 2z - 17 = 0 \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right.$

$\Rightarrow M' = \left( {{{10 + m} \over 3};{{7 + m} \over 3};m} \right).$

Gọi I là trung điểm của $MM'$  thì $I = \left( {{{25 - 5m} \over 6};{{5 - m} \over 3};m} \right).$

Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số

$\left\{ \matrix{  x = {{25 -5 m} \over 6} \hfill \cr  x = {{5 - m} \over 3} \hfill \cr  z = m \hfill \cr}  \right.;$

bỏ đi điểm $\left( {{{25} \over 6};{5 \over 3};0} \right)$ (ứng với m = 0).

Sachbaitap.com