Bài 88 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai mặt phẳng

\(({\alpha _m}):3mx + 5\sqrt {1 - {m^2}} y + 4mz + 20 = 0,\)

\(m \in \left[ { - 1;1} \right]\)

a) Tính khoảng cách từ gốc O tới mặt phẳng \(({\alpha _m}).\)

b) Chứng minh rằng với mọi \(m\in [-1;1]\) ,\(({\alpha _m})\) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

c) Với giá trị nào của m, hai mặt phẳng \(({\alpha _m})\) và (Oxz) cắt nhau ? Khi m thay đổi, chứng minh rằng các giao tuyến đó song song.

Giải

a) \(d\left( {O,\left( {{\alpha _m}} \right)} \right) = {{20} \over {\sqrt {9{m^2} + 25\left( {1 - {m^2}} \right) + 16{m^2}} }} = {{20} \over {\sqrt {25} }} = 4.\)

b) Từ câu a) suy ra rằng : khi m thay đổi, các mặt phẳng (\({\alpha _m}\)) luôn tiếp xúc với mặt cầu cố định tâm O và bán kính bằng 4.

c) Mặt phẳng (\({\alpha _m}\)) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3m;5\sqrt {1 - {m^2}} ;4m} \right)\) vì vậy (\({\alpha _m}\)) cắt mp(Oxz) (có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow j  = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)) khi và chỉ khi \(m \ne 0\).

Khi đó, giao tuyến \({\Delta _m}\) của mp(\({\alpha _m}\)) và mp(Oxz) là giao tuyến của hai mặt phẳng :

\(3mx + {\rm{ }}5\sqrt {1 - {m^2}} y{\rm{ }} + {\rm{ }}4mz + {\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \(y = {\rm{ }}0.\)

Do đó, vectơ chỉ phương của \({\Delta _m}\) là:

Vì \(m \ne 0\) nên \(\overrightarrow {u'}  = {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _m}\).

Do \(\overrightarrow {u'} \)  không phụ thuộc vào m nên các giao tuyến \({\Delta _m}\) song song với nhau khi m thay đổi.

Sachbaitap.com