Bài 89 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:

a) Chứng minh

\(\sqrt {5x + 2}  + \sqrt {5y + 2}  + \sqrt {5z + 2}  \le 6\sqrt 3 ,\)

\(\forall x,y,z \ge  - {2 \over 5},x + y + z = 6.\)

b) Chứng minh \(\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt {2 - {{\sin }^2}x}  + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right| \le 3,\forall x.\)

c) Tìm giá trị lớn nhất của tham số

\(f(x) = \sqrt {x + m}  + \sqrt {x + n}  + \sqrt {m + n} \)

Với \(x,m,n \ge 0,x + m + n = 1\)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2} + 1} ,\)

\(\forall x,y.\)

e) Chứng minh:

\(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}  \)

\(+ \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  \ge 2\sqrt 2 ,\forall x,y,z\)

Dấu = xảy ra khi nào?

Giải

a) Xét hai vectơ :\(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {\sqrt {5x + 2} ;\sqrt {5y + 2} ;\sqrt {5z + 2} } \right).\)

Ta có \(\eqalign{  & \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {5(x + y + z) + 6}  = 6,  \cr  & \overrightarrow u .\overrightarrow v  = \sqrt {5x + 2}  + \sqrt {5y + 2}  + \sqrt {5z + 2} . \cr} \)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\) suy ra đpcm.

b) Xét hai vectơ :\(\overrightarrow u  = \left( {\sin x;1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right)\) và  \(\overrightarrow v  = \left( {1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} ;\sin x} \right)\)

Từ \(\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\) suy ra đpcm.

c) Xét hai vectơ : \(\overrightarrow u  = \left( {\sqrt {x + m} ;\sqrt {x + n} ;\sqrt {m + n} } \right)\) và \(\overrightarrow v  = (1;1;1).\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 3 \) suy ra \(f\left( x \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v  \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 6 \).

Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) cùng hướng, nghĩa là

\({{\sqrt {x + m} } \over 1} = {{\sqrt {x + n} } \over 1} = {{\sqrt {m + n} } \over 1} > 0 \Leftrightarrow x = m = n > 0.\)

Kết hợp với \(x + m + n = 1\) suy ra \(x = m = n = {1 \over 3}\)

Vậy \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt 6 \) khi \(x = m = n = {1 \over 3}\)

d) Đặt \(\overrightarrow u  = \left( {x + 1;y;2} \right),\) \(\overrightarrow v  = \left( { - x; - y - 1;1} \right),\) ta có \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = {\rm{ }}\left( {1; - 1{\rm{ }};3} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|,\) ta suy ra

\(A = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + 1} \)

\(\ge \sqrt {11} .\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng, nghĩa là

                  \({{x + 1} \over { - x}} = {y \over { - y - 1}} = {2 \over 1} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {1 \over 3} \hfill \cr  y =  - {2 \over 3}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {11} \) khi \(x =  - {1 \over 3},y =  - {2 \over 3}.\)

e) Trong không gian Oxyz, ta lấy các điểm \(A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ 1}};{\rm{ }} - 1} \right),B\left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 1}}} \right)\) và \(M(x;y;z).\) Khi đó\(AB = {\rm{ }}2\sqrt 2 \) và

\(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}} ,\)

\(MB{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}} .\)

Từ bất đẳng thức \(MA + MB \ge AB\), ta suy ra

\(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}  \)

\(+ \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  \ge 2\sqrt 2 .\)

Dấu = xảy ra khi M nằm giữa hai điểm A, B hay\(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow {AB} \) ,\(0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.\)

nghĩa là

\(\left\{ \matrix{  x - 1 =  - 2t \hfill \cr  y - 1 = 0 \hfill \cr  z + 1 = 2t \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 - 2t \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr  z =  - 1 + 2t \hfill \cr}  \right.\)      \(0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.\)

Sachbaitap.com