Bài 9 trang 69 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình bậc hai với tham số m

\(3{x^2} - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0\)

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Gợi ý làm bài

Hướng dẫn: Trước hết tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm. Sau đó sử dụng định lí Vi – ét.

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi biệt thức dương. Ta có:

\(\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(3m - 5) = {m^2} - 7m + 16\)

Các giá trị m tìm được phải thỏa mãn điều kiện \({m^2} - 7m + 16 > 0\) tuy nhiên, trong trường hợp này tam thức bậc hai \({m^2} - 7m + 16 > 0\) với mọi m. Xem §5 chương IV).

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} = 3{x_2}\)

Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Theo định lí Vi – ét ta có

\({x_1} + {x_2} = {{2(m + 1)} \over 3},{x_1}{x_2} = {{3m - 5} \over 3}\)

Từ đó suy ra:

\({x_2} = {{m + 1} \over 6},3x_2^2 = {{3m - 5} \over 3}\)

Khử \({x_2}\) ta được phương trình bậc hai đối với m:

\({m^2} - 10m + 21 = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({m_1} = 7,{m_2} = 3\)

+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {4 \over 3},{x_1} = 4\)

+ Với m = 7 ta được \({x_2} = {2 \over 3},{x_1} = 2\)