Câu 1.11 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số \(f(x) = 2{x^2}\sqrt {x - 2} \)

a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \({\rm{[}}2; + \infty )\)

b) Chứng minh rằng phương trình \(2{x^2}\sqrt {x - 2}  = 11\) có một nghiệm duy nhất.

Giải      

a) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right).\)  

\(f(x) = 2\left( {2x\sqrt {x - 2}  + {{{x^2}} \over {2\sqrt {x - 2} }}} \right) = {{x(5x - 8)} \over {\sqrt {x - 2} }} > 0\) với mọi \(x \in \left[ {2; + \infty } \right).\)

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right).\)

b) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right],f(2) = 0,f(3) = 18\) vì 0 < 11 < 18 nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực.

\(c \in \left( {2;3} \right)\) sao cho f(c)= 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho. Vì hàm số f đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) nên c là nghiệm duy nhất của phương trình.

Sachbaitap.com