Câu 1.14 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a) Chứng minh rằng hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên mọi khoảng \(\left( {a,b} \right)\) nằm trong tập xác định \({D_1}\) của nó.

b) Có phải trên bất kì khoảng nào hàm số \(y = \tan x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến ?

Giải

a) Vì \(\left( {a;b} \right) \subset {D_1}\) nên không có số \({\pi  \over 2} + k\pi ,k \in Z\) thuộc \(\left( {a,b} \right).\) Vậy có số nguyên \(l\) để \(\left( {a,b} \right) \subset \left( {{\pi  \over 2} + l\pi ;{\pi  \over 2} + \left( {l + 1} \right)\pi } \right);\) hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng này nên nó đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right).\)

b) Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right),\) nhưng khoảng này không nằm trong tập xác định \({D_2}\) của hàm số \(y = \cot x\) trên khoảng đó. (Nếu cả hai hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) cùng xác định trên khoảng J dễ thấy \(y = \tan x\) đồng biến trên J và hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên J).

sachbaitap.com