Câu 1.47 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho phương trình \(\cos 2x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m + 1 = 0\)

a) Giải phương trình với \(m = {3 \over 2}\) 

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {{\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\)

Giải

Phương trình đã cho có thể viết thành \(2{\cos ^2}x - \left( {2m + 1} \right)\cos x + m = 0\)

Phương trình này tương đương với \(\left[ \matrix{ \cos x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos x = m \hfill \cr}  \right.\)

a) Với \(m = {3 \over 2}\) thì phương trình \(\cos x = m\) vô nghiệm; phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) có các nghiệm \(x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi .\) Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.

b) Do các nghiệm của phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) không thuộc khoảng \(\left( {{\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) nên phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {{\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm \(x \in \left( {{\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2}} \right)\). Điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \( - 1 < m < 0\)

sachbaitap.com