Câu 1.67 trang 23 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

      \(y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}\)

b) Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.

c) Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Giải

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình

                     \({{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m\)

                   \( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0\) .            (1)

Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình  (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là

                        ∆ = \({\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0\)

                        \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\)

                        \( \Leftrightarrow m <  - 5\) hoặc \(m >  - 1\) .           (2)

c) Khi đó , tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

              \({x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}\) và \({y_M} = m.\)    (3)

Từ đó suy ra

               \({x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}\) hay \({y_M} = 2{x_M} - 3.\)

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng \(y = 2x - 3.\)

Từ (3) suy ra \(m = 2{x_M} - 3.\)

Từ (2) ,ta có

                     \(\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} <  - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập  hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )\) là phần của đường thẳng

 \(y = 2x - 3\) ứng với \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup (  1; + \infty )\)

Đó là hai nửa đường thẳng.

Sachbaitap.com