Câu 2 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Biết $\sin {\pi  \over {10}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 4}.$ Chứng minh rằng hàm số

            $y = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x$          

Đồng biến trên $\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi  \over {10}}} \right)$

Giải

Quảng cáo

Từ $\sin {\pi  \over {10}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 4}$ suy ra $\cos {\pi  \over {10}} = \sqrt {1 - {{\left( {{{\sqrt 5  - 1} \over 4}} \right)}^2}}  = {{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \over 4}$. Do đó

$y = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sin x + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \cos x$

$= 4\cos \left( {x - {\pi  \over {10}}} \right)$

Khi x tăng từ ${{ - 9\pi } \over {10}}$ đến ${\pi  \over {10}}$ thì $x - {\pi  \over {10}}$ tăng từ $- \pi$ đến 0 nên $y = 4\cos \left( {x - {\pi  \over {10}}} \right)$ tăng từ -4 đến 4. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( {{{ - 9\pi } \over {10}};{\pi  \over {10}}} \right)$

Sachbaitap.com