Câu 2.135 trang 93 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

a) \({9.243^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = {2187^{{{x + 17} \over {x - 3}}}}\)

b) \({4^{\sqrt {{x^2} + 5}  - x}} - {2^{\sqrt {{x^2} + 5}  - x + 2}} =  - 4\)

c) \({\left| {2005 - x} \right|^{2006}} + {\left| {2006 - x} \right|^{2005}} = 1\)

d) \({3^x} - {3^{ - x}} = \root 3 \of {8 - {x^2}} \)

Giải

a) Đưa cả hai vế về lũy thừa cùng cơ số 3.

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {3^2}{.3^{5.{{x + 5} \over {x - 7}}}} = {3^{7.{{x + 17} \over {x - 3}}}} \cr
& \Leftrightarrow 2 + {{5\left( {x + 5} \right)} \over {x - 7}} = {{7.\left( {x + 17} \right)} \over {x - 3}} \cr} \)

Giải ra ta được: \(x=10\)

b) Đặt \(t = {2^{\sqrt {{x^2} + 5}  - x}}\) ( với t > 0) ta có: 

\(\eqalign{
& {t^2} - 4t + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 5} - x = 1 \cr} \)

Giải ra ta được: \(x = 2\)

c) 

 Nhận xét  \(x = 2005\) và \(x = 2006\) là hai nghiệm, rồi chứng tỏ không còn nghiệm nào khác như sau :

\( \bullet \) Với \(x < 2005\) hoặc \(x > 2006\), dễ thấy vế trái lớn hơn vế phải.

\( \bullet \) Với \(2005 < x < 2006\) thì \(0 < \left| {2005 - x} \right| < 1,0 < \left| {2006 - x} \right| < 1\)

Do đó \({\left| {2005 - x} \right|^{2006}} < \left| {2005 - x} \right| = x - 2005\)

          \({\left| {2006 - x} \right|^{2005}} < \left| {2006 - x} \right| = 2006 - x\)

Dẫn đến vế trái nhỏ hơn vế phải.

d) \(x = 0\)

 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chỉ ra hai vế trái không nhỏ hơn 2, còn dễ thấy vế phải không nhỏ hơn 2.

Sachbaitap.com