Câu 3.18 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 11x + 13 = 0.\)

Hãy tính:

a. \(x_1^3 + x_2^3\) ;

b. \(x_1^4 + x_2^4\) ;

c. \(x_1^4 - x_2^4\) ;

d. \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left( {1 - x_2^2} \right) + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left( {1 - x_1^2} \right)\)

Giải:

Theo định lí Vi-ét ta có \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}\) (dễ thấy hai nghiệm đều dương). Do đó :

a. \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(= {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^3} - 3.\frac{{13}}{2}.\frac{{11}}{2} = \frac{{473}}{8}\)

b. \(x_1^4 + x_2^4 = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2 \)

\(= \frac{{3409}}{{16}}\)

c. \(x_1^4 - x_2^4 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\)

Ta có :

\({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

\(\Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\)

Giả sử \({x_1} < {x_2},\) ta có :

\({x_1} - {x_2} =  - \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\) Do đó \(x_1^4 - x_2^4 =  - \frac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .\)

Đối tượng trường hợp \({x_1} > {x_2},\) ta có \(x_1^4 - x_2^4 = \frac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .\)

d. \( - \dfrac{{269}}{{26}}.\)

Gợi ý.

\(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left( {1 - x_2^2} \right) + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left( {1 - x_1^2} \right) = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - 2{x_1}{x_2}\)

\(= \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} - 2{x_1}{x_2}.\)