Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giả sử ${x_1},{x_2}$ là các nghiệm của phương trình ${x^2} + 2mx + 4 = 0.$

Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức :

${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) = 3$

Giải:

$m =  \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .$ Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

$\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.$

Theo định lí Vi-ét, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.$

Nên ${\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}$

$= \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 = \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 8} \right)}^2}}}{{16}} - 2$

Ta có: ${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {\left( {4{m^2} - 8} \right)^2} = 80$

$\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5$

$\Rightarrow m =  \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .$

Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $|m| ≥ 2$.

Sachbaitap.com