Câu 3.63 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho hàm số \(y = {x^2} + x - 2\) có đồ thị là parabol (P), hàm số \(y = 3x + k\) có đồ thị là đường thẳng (d).

a. Hãy biện luận số nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 = 3x + k,\) từ đó suy ra số điểm chung của parabol (P) và đường thẳng (d).

b. Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung ?

c. Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở về cùng một phía của trục tung. Khi đó hai điểm ấy nằm ở phía nào của trục tung ?

Giải:

a. Ta có: \({x^2} + x - 2 = 3x + k\) tương đương với phương trình

\({x^2} - 2x - \left( {2 + k} \right) = 0\)             (1)

Phương trình bậc hai (1) có biệt thức thu gọn \(\Delta ' = k + 3.\) Do đó :

• Nếu k < -3 thì ∆’ < 0, phương trình (1) vô nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung nào.

• Nếu k = -3 thì ∆’ = 0, phương trình (1) có một nghiệm nên đường thẳng (d) và parabol (P) có một điểm chung.

• Nếu k > -3 thì ∆’ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng (d) và parabol (P) có hai điểm chung phân biệt.

b. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm nằm ở hai phía khác nhau của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, nghĩa là

\( - \left( {2 + k} \right) < 0,\) hay \(k >  - 2\)

c. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm ở cùng một phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Nếu gọi hai nghiệm ấy là \(x_1\) và \(x_2\) thì \(x_1 + x_2 = 2 > 0\). Điều đó chứng tỏ rằng khi hai nghiệm cùng dấu thì chúng có dấu dương, nghĩa là hai giao điểm nằm ở bên phải trục tung. Muốn vậy, ta phải có:

\(\Delta ' = k + 3 > 0\) và \( - \left( {2 + k} \right) > 0\) tức là \(- 3 < k <  - 2\).

Sachbaitap.com