Câu 3.73 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoCho dãy số Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\) a) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). c) Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2.\) Giải a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\) \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\) Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\) b) Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\) Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế \({u_n} = \sqrt {2n - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\forall n \ge 1).\) c) \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2\) \( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}} \) \(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 - 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III - Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
|
Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng