Câu 3.76 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({u_n})\) mà tổng số n số hạng đầu tiên của nó ( kí hiệu là \({S_n}\)) được tính theo công thức sau:

                            \({S_n} = {{{3^n} - 1} \over {{3^{n - 1}}}}.\)

a) Hãy tính \({u_1},{u_2}\) và \({u_3}.\)

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

c) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

Giải

a )Ta có \({u_1} = {S_1} = 2,\)

\({u_2} = \left( {{u_1} + {u_2}} \right) - {u_1} = {S_2} - {u_1} = {S_2} - {S_1}\)

     \(= {8 \over 3} - 2 = {2 \over 3}\)

\({u_3} = \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) - ({u_1} + {u_2}) = {S_3} - {S_2}\)

     \(= {{26} \over 9} - {8 \over 3} = {2 \over 9}\)

b) Đặt \({S_0} = 0\), ta có \({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = {{{3^n} - 1} \over {{3^{n - 1}}}} - {{{3^{n - 1}} - 1} \over {{3^{n - 2}}}} = {2 \over {{3^{n - 1}}}}\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

c) Ta có \({u_{n + 1}} = {2 \over {{3^n}}} = {1 \over 3} \times {2 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over 3}{u_n}\,\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bội bằng \({1 \over 3}.\)

Sachbaitap.com