Câu 4.28 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:

a) \(\sin \varphi  + i2{\sin ^2}{\varphi  \over 2}\)                       

b) \({\rm{cos}}\varphi  + i\left( {1 + \sin \varphi } \right)\)

Giải

a) \(\sin \varphi  +2 i{\sin ^2}{\varphi  \over 2} = 2\sin {\varphi  \over 2}\left( {{\rm{cos}}{\varphi  \over 2} + isin{\varphi  \over 2}} \right),\) nên

khi \(\sin {\varphi  \over 2} = 0,\) số đó có dạng lượng giác không xác định

khi \(\sin {\varphi  \over 2} > 0,\) dạng viết trên là dạng lượng giác của số đã cho.

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} < 0,\) số đó có dạng lượng giác

\( - 2\sin {\varphi  \over 2}\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi  \over 2} + \pi } \right) + isin\left( {{\varphi  \over 2} + \pi } \right)} \right]\)

b) \({\rm{cos}}\varphi  + i\left( {1 + \sin \varphi } \right) \)

\(= \sin \left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right) + i\left[ {1 - c{\rm{os}}\left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right)} \right]\)

\(=sin\left( {\varphi  + {\pi  \over 2}} \right) + i2{\sin ^2}\left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right)\)

Nên theo câu a) ta có:

Khi \(\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right) = 0,\) số đã cho có dạng lượng giác không xác định.

Khi \(\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right) > 0,\) số đã cho có dạng lượng giác

\(  2\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right) + isin\left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right)} \right]\)

Khi \(\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right) < 0,\) số đã cho có dạng lượng giác

\( - 2\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 4}} \right)\left[ {{\rm{cos}}\left( {{\varphi  \over 2} + {{5\pi } \over 4}} \right) + isin\left( {{\varphi  \over 2} + {{5\pi } \over 4}} \right)} \right]\)

Sachbaitap.com