Câu 4.53 trang 111 SBT Đại số 10 Nâng cao

Xét dấu của các tam thức bậc hai :

a. \(2{{ {x}}^2} + 2{ {x}} + 5\)

b. \( - {x^2} + 5{ {x}} - 6\)

c. \(2{{{x}}^2} + 2{ {x}}\sqrt 2  + 1\)

d. \( - 4{{ {x}}^2} - 4{ {x}} + 1\)

e. \(\sqrt 3 {x^2} + \left( {\sqrt 3  + 1} \right)x + 1\)

f. \({x^2} + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)x - \sqrt 5 \)

g. \( - 0,3{{ {x}}^2} + { {x}} - 1,5\)

h. \({x^2} - \left( {\sqrt 7  - 1} \right)x + \sqrt 3 \).

Giải:

a. Tam thức đã cho có \(a = 2 > 0\) và biệt thức \(∆’ = 1 – 10 = -9 < 0,\) nên tam thức luôn dương.

b. Tam thức đã cho có \(a = -1\) và biệt thức \(∆ = 1 > 0,\) và có hai nghiệm \({x_1} = 2,{x_2} = 3.\) Suy ra tam thức dương trong khoảng \((2 ; 3)\) và âm trong các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\,\left( {3; + \infty } \right).\)

c. Tam thức đã cho có \(a = 2\), biệt thức \(∆ = 0\) nên tam thức dương với mọi \(x \ne  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

d. Tam thức đã cho có \(a = -4;\) biệt thức \(∆’ = 8 > 0\) và có hai nghiệm \({x_1} =  - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2},{x_2} = \dfrac{{\sqrt 2  - 1}}{2},\) nên tam thức dương trong khoảng \(\left( { - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2};\dfrac{{\sqrt 2  - 1}}{2}} \right)\) và âm trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right)\) và \(\,\left( {\dfrac{{\sqrt 2  - 1}}{2}; + \infty } \right)\)

e. Tam thức đã cho có \(a = \sqrt 3 \) và biệt thức \(\Delta  = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2} - 4\sqrt 3  = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^2} > 0,\) tam thức có hai nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\) Suy ra tam thức dương trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right)\) và âm trong khoảng \(\left( { - 1;\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right).\)

Chú ý. Nhận xét \(a – b + c = 0\) nên tam thức có hai nghiệm

\({x_1} =  - 1,{x_2} =  - \dfrac{c}{a} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Từ đó áp dụng định lí về dấu tam thức.

f. Tam thức có \(a = 1\) và \(a + b + c = 0\), nên tam thức có hai nghiệm

\({x_1} =  - \sqrt 5 ,{x_2} = 1.\)

Suy ra tam thức luôn dương trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right),\left( {1; + \infty } \right)\) và âm trong khoảng \(\left( { - \sqrt 5 ;1} \right).\)

g. Tam thức đã cho có \(a = -0,3 < 0\), biệt thức \(∆ = -0,8 < 0,\) nên tam thức luôn âm với mọi \(x\).

h. Tam thức đã cho có \(a = 1,\)

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {\sqrt 7  - 1} \right)^2} - 4\sqrt 3  = 8 - 2\sqrt 7  - 4\sqrt 3 \\ = 2\left( {2 - \sqrt 7 } \right) + 4\left( {1 - \sqrt 3 } \right) < 0.\end{array}\)

Nên tam thức luôn dương với mọi \(x\).

Sachbaitap.com