Câu 4.58 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:

a.\(\left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m - 1\)

b.\(\left( {m + 2} \right){x^2} + 5{ {x}} - 4\)

c. \(m{x^2} - 12{ {x}} - 5\)

d. \( - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - {m^{2.}}\)

Giải:

a. *) Khi \(m = 4\) dễ thấy biểu thức không luôn luôn âm với mọi \(x\).

*) Khi \(m ≠ 4\), để tam thức luôn âm vứoi mọi x, điều kiện cần và đủ là :

\(\left\{ \matrix{m - 4 < 0 \hfill \cr \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \(\Delta  =  - 7{m^2} + 38m - 15,\Delta  < 0\) khi và chỉ khi \(m < \dfrac{3}{7}\) hoặc \(m > 5\). Kết hợp với (*), suy ra \(m < \dfrac{3}{7}.\)

b. *) Khi \(m = -2\), biểu thức đã cho trở thành \(5x – 4\). Biểu thức này không thể luôn luôn âm với mọi \(x\). Vậy \(m = -2\) không thỏa mãn.

*) Khi \(m ≠ -2\) thì tam thức luôn âm khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{m + 2 < 0 \hfill \cr \Delta = 25 + 16\left( {m + 2} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {{57} \over {16}}.\)

c. Biểu thức luôn âm khi và chỉ khi \(m <  - \dfrac{{36}}{5}.\)

d. Biểu thức luôn âm khi và chỉ khi \( - \dfrac{5}{3} < m <  - 1.\)

Sachbaitap.com