Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 50 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)

b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\)

c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\)

d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\)

e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)

f) \(x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\)

Giải

a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(4x - 5 = t,\) ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {t^2} - 6t + 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr
& {t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2 \cr} \)

Suy ra:

\(\left[ {\matrix{
{4x - 5 = 4} \cr
{4x - 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr 
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {9 \over 4}} \cr 
{x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)

b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\) đặt \({x^2} + 3x - 1 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 8 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr
& {t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr
& {t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \)

Với t1 = 2 ta có: \({x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = 9 - 4.1.\left( { - 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 1} = - 3 + \sqrt {21} \cr
& {x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 1} = - 3 - \sqrt {21} \cr} \)

Với t2 = -4 ta có: \({x^2} + 3x - 1 =  - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)

\(\Delta  = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 =  - 3 < 0\)

Phương trình \({x^2} + 3x + 3 = 0\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \({x_1} =  - 3 + \sqrt {21} ;{x_2} =  - 3 - \sqrt {21} \)

c)

\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x - 2} \right) - 6 = 0 \cr} \)

Đặt \(2{x^2} + x - 2 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 6 = 0\) có dạng:

\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = - 6 \cr} \)

Với t1 = 1 ta có: \(2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\)

\(2 + 1 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

Với t2 = -6 ta có: \(2{x^2} + x - 2 =  - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)

\(\Delta  = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 =  - 31 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

d)

\(\eqalign{
& \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - 3 = 0 \cr} \)

Đặt \({x^2} - 3x + 2 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng:

\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \cr} \)

Với t1 = 1 ta có: \({x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Với t2 = -3 ta có: \({x^2} - 3x + 2 =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\)

\(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 =  - 11 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

e)

\(\eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} - 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \)

Đặt \({x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(2{t^2} - 5t + 3 = 0\)

\(2{t^2} - 5t + 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0;2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0\)

\({t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)

Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm

Với t2 = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x =  - 3\)

x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3

f) \(x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\) điều kiện: x ≥ 1

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) - \sqrt {x - 1}  - 2 = 0\) đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} - t - 2 = 0\) có dạng: \(a - b + c = 0\)

\(\eqalign{
& 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 1 + 1 - 2 = 0 \cr
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2 \cr} \)

\({t_1} =  - 1 < 0\) loại

Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x - 1}  = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link