Câu 5.14 trang 181 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

            \(f\left( x \right) = {{m{x^3}} \over 3} - {{m{x^2}} \over 2} + \left( {3 - m} \right)x - 2\)

Tìm m để

a) \(f'\left( x \right)\)  với mọi x;

b) \(f'\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu;

c) Chứng minh rằng trong trường hợp  có hai nghiệm(hai nghiệm có thể trùng nhau) thì các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m.

Giải

Với mọi \(x \in R,\) ta có

              \(f'\left( x \right) = m{x^2} - mx + 3 - m.\)

a) Ta phải xét hai trường hợp sau đây

1. Với \(m = 0\) thì \(f'\left( x \right) = 3 > 0\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\) Vậy \(m = 0\) là một giá trị cần tìm.

2. Với \(m \ne 0\) (khi đó \(f'(x)\) là một tam thức bậc hai) thì ta phải tìm \(m\) sao cho

\(\left\{ \matrix{m > 0 \hfill \cr\Delta  = {m^2} - 4\left( {3 - m} \right) = m\left( {5m - 12} \right) < 0 \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow 0 < m < {{12} \over 5}\)

Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiên của bài toán là \(0 \le m < {{12} \over 5}.\)

Chú ý. Không được phép hai trường hợp 1 và 2 (vì trong trường hợp 1, \(f\left( x \right)\) không phải là một tam thức bậc hai nên không áp đụngk được định lí về dấu của tam thức bậc hai).

b) Để \(f'(x)\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì phải tìm \(m\) sao cho tam thức bậc haicó hai nghiệm phân biệt và tích của chúng là \(P = {c \over a} > 0\) (hay số 0 nằm ngoài hai nghiệm) tức là

\(\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta  = m\left( {5m - 12} \right) > 0 \hfill \cr{{3 - m} \over m} > 0\,\,\,\left( {hay\,\,m\left( {3 - m} \right) > 0} \right) \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow {{12} \over 5} < m < 3.\)

c) Vì có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) nên ta có

\(\left\{ \matrix{m \ne 0 \hfill \cr\Delta  \ge 0 \hfill \cr{x_1} + {x_2} = {m \over m} = 1 \hfill \cr{x_1}{x_2} = {{3 - m} \over m} \hfill \cr}  \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 0\text{ hoặc }m \ge {2 \over 5} \hfill \cr{x_1} + {x_2} = 1. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy hệ thức phải tìm là \({x_1} + {x_2} = 1.\)

Sachbaitap.com